Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
\left\{\begin{array}{rlrl}3 x-y & & =1 \\\ & 2 y-5 z & =-11 \\\ x+y+z+t & =-1 \\\ x+y & =10\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema linear em quatro incógnitas x,y,z,t:
\begin{cases} 3x - y &= 1,\\\\ 2y - 5z &= -11,\\\ x + y + z + t&= -1,\\\ x + y &= 10. \end{cases}
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss (escalonamento) para resolver o sistema e, a partir da forma escalonada, determinar o posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada \bigl[A\mid b\bigr] com a ordem de colunas (x,y,z,t):
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & -5& 0 & -11\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 10 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o pivô em (3,1) trocando a linha 1 com a linha 3 e, em seguida, eliminamos x em R3 e R4:
\begin{aligned} R1 &\leftrightarrow R3,\\\ R3 &\leftarrow R3 - 3\,R1,\\\ R4 &\leftarrow R4 - R1, \end{aligned}
resultando em
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\\\ 0 & -4 & -3 & -3 & 4\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & 11 \end{array}\right].

Passo 4

Continuamos a eliminação pelos pivôs em (2,2) e (3,3):
\begin{aligned} R3 &\leftarrow R3 + 2\,R2,\\\ \text{e depois } R4 &\leftarrow 13\,R4 - R3, \end{aligned}
obtendo a forma triangular
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & -11\\\\ 0 & 0 & -13 & -3 & -18\\\\ 0 & 0 & 0 & -10 & 161 \end{array}\right].

Passo 5

Fazemos retro-substituição:
\begin{cases} -10\,t &= 161 \implies t = -\dfrac{161}{10},\\[6pt] -13\,z - 3\,t &= -18 \implies z = \dfrac{-18 +3t}{-13} = \dfrac{51}{10},\\[6pt] 2\,y -5\,z &= -11 \implies y = \dfrac{-11 +5z}{2} = \dfrac{29}{4},\\[6pt] x + y + z + t &= -1 \implies x = -1 -y -z -t = \dfrac{11}{4}. \end{cases}]

Passo 6

O número de pivôs não nulos na forma triangular é 4, logo o posto da matriz de coeficientes é
\rank(A)=4
e, como não apareceu contradição, o posto da matriz ampliada também é
\rank\bigl[A\mid b\bigr]=4.

Resposta

x=\tfrac{11}{4},\quad y=\tfrac{29}{4},\quad z=\tfrac{51}{10},\quad t=-\tfrac{161}{10}. \rank(A)=4,\quad \rank\bigl[A\mid b\bigr]=4.

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