Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
(A+B){2}=A{2}+2 A B+B^{2}.

Passo 1

O enunciado pergunta se a identidade
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
vale para matrizes A e B arbitrárias. O conteúdo envolve a álgebra de matrizes e, em particular, a não comutatividade do produto matricial.

Passo 2

Vamos expandir o lado esquerdo usando a definição de quadrado de soma:
(A+B)^2 = (A+B)(A+B).
Pela distributividade temos
(A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B).
Em seguida
A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB = A^2 + AB + BA + B^2.

Passo 3

Comparando com o lado direito proposto,
A^2 + 2AB + B^2 = A^2 + AB + AB + B^2,
vemos que a expansão geral produziu o termo AB + BA, enquanto a fórmula proposta exige AB + AB. Portanto, para que
AB + BA = AB + AB
precisamos que
BA = AB.

Passo 4

Concluímos que a identidade
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
só é verdadeira quando A e B comutam, isto é, quando AB=BA. No caso geral, onde AB\neq BA, a igualdade falha.

Passo 5

Um contraexemplo explícito: seja
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculando
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
vemos que AB\neq BA. Logo
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
não coincide com A^2 + 2AB + B^2.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados