Para cada uma das afirmativas abaixo decida se é verdadeiro ou falsa. Justifique sua resposta.
(A+B){2}=A{2}+2 A B+B^{2}.
(A+B){2}=A{2}+2 A B+B^{2}.
Passo 1
O enunciado pergunta se a identidade
vale para matrizes
e
arbitrárias. O conteúdo envolve a álgebra de matrizes e, em particular, a não comutatividade do produto matricial.
Passo 2
Vamos expandir o lado esquerdo usando a definição de quadrado de soma:
Pela distributividade temos
Em seguida
Passo 3
Comparando com o lado direito proposto,
vemos que a expansão geral produziu o termo
, enquanto a fórmula proposta exige
. Portanto, para que
precisamos que
Passo 4
Concluímos que a identidade
só é verdadeira quando
e
comutam, isto é, quando
. No caso geral, onde
, a igualdade falha.
Passo 5
Um contraexemplo explícito: seja
Calculando
vemos que
. Logo
não coincide com
.
Resposta
Falsa.