Resolva os sistemas, usando a regra de Cramer.
\left{ \begin{array}{rl}x+y & =1 \\ 2 x+z & =1 \\ x+2 y+2 z & =-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y = 1,\\\\ 2x + z = 1,\\\ x + 2y + 2z = -1 \end{cases}
e pede para usar a regra de Cramer. Isso significa que vamos montar a matriz de coeficientes A, calcular seu determinante D, depois substituir coluna a coluna pelos termos independentes para obter D_x, D_y e D_z, e então usar
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D}.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante D=\det(A) pela regra de Sarrus ou expansão de Laplace na primeira linha dá
D = 1\,(0\cdot2 - 1\cdot2)\;-\;1\,(2\cdot2 - 1\cdot1)\;+\;0\,(2\cdot2 - 0\cdot1) \;=\;-2\;-\;3\;+\;0\;=\;-5.

Passo 3

Para D_x substituímos a primeira coluna por (1,1,-1):
A_x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
Computando o determinante:
D_x = 1\,(0\cdot2 - 1\cdot2)\;-\;1\,(1\cdot2 - 1\cdot(-1))\;+\;0\,(1\cdot2 - 0\cdot(-1)) \;=\;-2\;-\;(2+1)\;=\;-2\;-\;3\;=\;-5.

Passo 4

Para D_y substituímos a segunda coluna por (1,1,-1):
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Então
D_y = 1\,(1\cdot2 - 1\cdot(-1))\;-\;1\,(2\cdot2 - 1\cdot1)\;+\;0\,(2\cdot(-1)-1\cdot1) \;=\;3\;-\;3\;+\;0\;=\;0.

Passo 5

Para D_z substituímos a terceira coluna por (1,1,-1):
A_z=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Logo
D_z = 1\,(0\cdot(-1) - 1\cdot2)\;-\;1\,(2\cdot(-1) - 1\cdot1)\;+\;1\,(2\cdot2 - 0\cdot1) \;=\;-2\;-\;(-3)\;+\;4\;=\;5.

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-5}{-5} = 1,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{-5} = 0,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{5}{-5} = -1.

Resposta

x = 1, y = 0, z = -1.

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