Resolva os seguintes sistemas homogênos de equaçõeses lineares.
(c)
\left\{\begin{array}{r} 2 x+2 y+4 z=0 \\\\ 2 w-y-3 z=0 \\\\ 2 w+3 x+y+z=0 \\\ w+x+3 y-2 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares em quatro variáveis (w,x,y,z). O conteúdo aqui é a resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss para encontrar o espaço nulo, isto é, todas as soluções do sistema homogêneo.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e trocamos a linha 1 pela linha 4 para ter pivô não nulo na coluna 1:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 2 & 2 & 4 & 0\\\\ 2 & 0 & -1 & -3 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 3 & -2 & 0 \end{array} \right] \;\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_4}\; \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & -2 & 0\\\\ 2 & 0 & -1 & -3 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \end{array} \right]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô em \text{coluna }1:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1
  • R_3\leftarrow R_3-2R_1
    Fica:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & -2 & 0\\\\ 0 & -2 & -7 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -5 & 5 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0 \end{array} \right]

Passo 4

Escolhemos pivô em \text{coluna }2 trocando R_2\leftrightarrow R_3 e depois eliminamos:
  • R_3\leftarrow R_3+2R_2
  • R_4\leftarrow R_4-2R_2
    Assim:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -5 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -17 & 11 & 0\\\\ 0 & 0 & 12 & -6 & 0 \end{array} \right]

Passo 5

Tornamos o pivô de R_3 igual a 1 e eliminamos em R_4:
  • R_3\leftarrow -\tfrac1{17}R_3
  • R_4\leftarrow R_4-12R_3
    Obtemos
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -5 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{11}{17} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{30}{17} & 0 \end{array} \right]
Da última linha segue \tfrac{30}{17}z=0, logo z=0.

Passo 6

Fazendo back-substitution:
Da linha 3: y-\tfrac{11}{17}z=0\implies y=0.
Da linha 2: x-5y+5z=0\implies x=0.
Da linha 1: w+x+3y-2z=0\implies w=0.

Resposta

(w,x,y,z)=(0,0,0,0)

Exercícios relacionados