Resolva cada um dos seguintes sitemas pelo Método das Matrizes Elementares.
(a) \left\{\begin{array}{rlr}x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & = & -8 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3} & = & -1 \\\\ 3 x_{1}-7 x_{2}+4 x_{3} & = & -10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3} = -8,\\\\ -\,x_{1}-2x_{2}+3x_{3} = -1,\\\\ 3x_{1}-7x_{2}+4x_{3} = -10 \end{cases}
pelo método das matrizes elementares, ou seja, aplicando operações de linha (equivalentes à multiplicação à esquerda por matrizes elementares) na forma aumentada [A\mid b] até obter a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [A\mid b]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -8\\\\ -1 & -2 & 3 & -1\\\\ 3 & -7 & 4 & -10 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos o x_{1} das equações 2 e 3 usando operações de linha:
R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}, \quad R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}.
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -8\\\\ 0 & -1 & 5 & -9\\\\ 0 & -10 & -2 & 14 \end{array}\right].

Passo 4

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 multiplicando R_{2} por -1:
R_{2}\leftarrow -\,R_{2} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -8\\\\ 0 & 1 & -5 & 9\\\\ 0 & -10 & -2 & 14 \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos o x_{2} da terceira linha com
R_{3}\leftarrow R_{3}+10R_{2} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -8\\\\ 0 & 1 & -5 & 9\\\\ 0 & 0 & -52 & 104 \end{array}\right].

Passo 6

A terceira linha dá
-52\,x_{3} = 104 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = \frac{104}{-52} = -2.

Passo 7

Substituindo x_{3}=-2 na segunda linha x_{2}-5x_{3}=9, obtemos
x_{2}-5(-2)=9 \;\Longrightarrow\; x_{2}+10=9 \;\Longrightarrow\; x_{2}=-1.

Passo 8

Por fim, substituímos x_{2}=-1 e x_{3}=-2 na primeira linha x_{1}+x_{2}+2x_{3}=-8:
x_{1}-1+2(-2)=-8 \;\Longrightarrow\; x_{1}-1-4=-8 \;\Longrightarrow\; x_{1}-5=-8 \;\Longrightarrow\; x_{1}=-3.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = (-3,\,-1,\,-2)

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