Resolva o seguinte sistema pelo Método das Matrizes Elementares.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{5} & =0 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}-5 x_{3}-2 x_{4}+4 x_{5}-3 x_{6} & =-1 \\\\ 5 x_{3}+10 x_{4}+15 x_{6} & =5 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+8 x_{4}+4 x_{5}+18 x_{6} & =6 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com 4 equações e 6 incógnitas (x_{1},\dots,x_{6}). Vamos usar operações elementares de linha na matriz aumentada (eliminação de Gauss) para obter a forma escalonada, identificar variáveis básicas e livres, e então escrever a solução geral em função de parâmetros.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & -1\\\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\\\ 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos a coluna 1 nas linhas 2 e 4 usando
R_{2}\leftarrow R_{2}-2\,R_{1},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-2\,R_{1},
ficando
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & -1\\\\ 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 \end{array}\right].

Passo 4

Normalizamos a segunda linha e eliminamos a coluna 3 em R_{1} e R_{3}:
R_{2}\leftarrow -1\cdot R_{2},\quad R_{1}\leftarrow R_{1}+2\,R_{2},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}-5\,R_{2}.
Isso gera
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & 0 & 4 & 2 & 6 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 8 & 4 & 18 & 6 \end{array}\right].

Passo 5

Trocamos a linha 3 pela linha 4, normalizamos o pivô na coluna 4 e eliminamos esse termo em R_{1}:
R_{3}\leftrightarrow R_{4},\quad R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{8}R_{3},\quad R_{1}\leftarrow R_{1}-4\,R_{3}.
Obtém-se a forma escalonada
\left[\begin{array}{cccccc|c} 1 & 3 & 0 & 0 & 0 & -3 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac12 & \tfrac94 & \tfrac34\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

As variáveis básicas são x_{1},x_{3},x_{4} (colunas com pivô) e as livres são x_{2},x_{5},x_{6}.
Da linha 3:
x_{4}+\tfrac12x_{5}+\tfrac94x_{6}=\tfrac34 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=\tfrac34-\tfrac12x_{5}-\tfrac94x_{6}.
Da linha 2:
x_{3}+2x_{4}+3x_{6}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=1-2x_{4}-3x_{6} =1-2\Bigl(\tfrac34-\tfrac12x_{5}-\tfrac94x_{6}\Bigr)-3x_{6} =-\tfrac12+x_{5}+\tfrac32x_{6}.
Da linha 1:
x_{1}+3x_{2}-3x_{6}=-1 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-1-3x_{2}+3x_{6}.

Resposta

Tomando parâmetros \;x_{2}=\lambda,\;x_{5}=\mu,\;x_{6}=\nu,\;\lambda,\mu,\nu\in\mathbb{R},
a solução geral é
\begin{aligned} x_{1}&=-1-3\lambda+3\nu,\\\ x_{2}&=\lambda,\\\ x_{3}&=-\tfrac12+\mu+\tfrac32\nu,\\\ x_{4}&=\tfrac34-\tfrac12\mu-\tfrac94\nu,\\\ x_{5}&=\mu,\\\ x_{6}&=\nu. \end{aligned}

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