Utilize a definição de derivada para mostrar que a função não é diferenciável no número indicado:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função definida por partes
e queremos verificar se ela é diferenciável em
usando a definição de derivada. Para isso vamos calcular o limite do quociente incremental pela esquerda e pela direita.
Passo 2
Lembrando a definição de derivada em
:
Como
, o quociente incremental fica simplesmente
.
Passo 3
Cálculo da derivada lateral pela esquerda (
):
Passo 4
Cálculo da derivada lateral pela direita (
):
Passo 5
Como os limites laterais não coincidem (
), concluímos que o limite da definição de derivada não existe em
, ou seja, a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função não é diferenciável em x=0 porque o limite à esquerda dá 3 e o limite à direita dá -4, e esses valores são diferentes.