Utilize a definição de derivada para mostrar que a função não é diferenciável no número indicado: f(x)=rr3 x, & se x<0 -4 x, & se x >= 0 ; x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função definida por partes
f(x)=3x,&x<0,-4x,&x>=0,
e queremos verificar se ela é diferenciável em x=0 usando a definição de derivada. Para isso vamos calcular o limite do quociente incremental pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada em x=0:
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h
Como f(0)= -4cdot 0=0, o quociente incremental fica simplesmente f(h)/h.

Passo 3

Cálculo da derivada lateral pela esquerda ( h<0):
limhto0^-f(h)h= limhto0^-3hh= limhto0^-3=3

Passo 4

Cálculo da derivada lateral pela direita ( h>0):
limhto0^+f(h)h= limhto0^+-4hh= limhto0^+(-4)=-4

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem ( 3neq -4), concluímos que o limite da definição de derivada não existe em x=0, ou seja, a função não é diferenciável em x=0.

Resposta

A função não é diferenciável em x=0 porque o limite à esquerda dá 3 e o limite à direita dá -4, e esses valores são diferentes.

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