Resolva os seguintes sistemas lineares: lx+2 y-z=0 3 x-4 y+5 z=10 x+y+z=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + 2y - z = 0, 3x - 4y + 5z = 10, x + y + z = 1
O conteúdo é solução de sistemas lineares de três equações e três incógnitas, e vamos usar o método de eliminação (substituição).

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x + 2y - z = 0 Longrightarrow x = -2y + z

Passo 3

Substituímos x = -2y + z na terceira equação para relacionar y e z:
(-2y + z) + y + z = 1 Longrightarrow -2y + y + z + z = 1 Longrightarrow -y + 2z = 1 Longrightarrow y = 2z - 1

Passo 4

Agora substituímos x = -2y + z e y = 2z - 1 na segunda equação para encontrar z:
3x - 4y + 5z = 10
Como x = -2y + z, temos x = -2(2z-1) + z = -4z + 2 + z = -3z + 2.
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3(-3z + 2) - 4(2z - 1) + 5z = 10 Longrightarrow -9z + 6 - 8z + 4 + 5z = 10 Longrightarrow (-9z - 8z + 5z) + 10 = 10 Longrightarrow -12z + 10 = 10 Longrightarrow z = 0

Passo 5

Com z = 0, voltamos a y = 2z - 1 e x = -2y + z:
y = 2cdot 0 - 1 = -1, x = -2(-1) + 0 = 2

Resposta

(x,y,z) = (2,,-1,,0).

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