Seja A=(ai j) uma matriz n times n com entradas ai j in R. Avalie as seguintes afirmativas: Existe uma matriz B de modo que B A=2 A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz AinR^ntimes n e pergunta se existe alguma matriz BinR^ntimes n tal que
B,A = 2,A
O conteúdo é álgebra linear básica envolvendo multiplicação de matrizes e a matriz identidade.

Passo 2

Note que a matriz identidade In satisfaz
In,A = A
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
(2,In),A = 2,(In,A) = 2,A
Logo B = 2,In é uma solução.

Passo 3

Para ver a não unicidade, escreva B = 2,In + M. Então
B,A = (2,In + M),A = 2,A + M,A
Se exigirmos B,A=2,A, basta que
M,A = 0
Qualquer M com M,A=0 gera outra solução.

Resposta

A afirmativa é verdadeira. Um exemplo simples de solução é
B = 2,In

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