Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método do escalonamento e classifique-os em:
  • (SPD) Sistema Possível Determinado.
  • (SPI) Sistema Possível Indeterminado.
  • (SI) Sistema Impossível.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\\ 2 x+2 y+2 z=4 \x-y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema
\begin{cases} x+y+z=2,\\\\ 2x+2y+2z=4,\\\ x-y+z=0, \end{cases}
classificando-o em SPD, SPI ou SI.
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss (escalonamento) aplicado a sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 2 & 2 & 4\\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Fazendo R_2 \to R_2-2R_1 e R_3\to R_3-R_1,
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Agora trocamos R_2 e R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & -2 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Da segunda linha escalonada temos
-2y=-2
logo
y=1.

Passo 4

Como a terceira linha é 0=0, sobra uma variável livre, seja z=t.
Da primeira equação
x+y+z=2
substituindo y=1 e z=t vem
x+1+t=2 \quad\Longrightarrow\quad x=1-t.

Passo 5

Há uma variável livre e nenhuma contradição, logo existem infinitas soluções. Isso caracteriza um SPI (Sistema Possível Indeterminado).

Resposta

As soluções são
x=1-t,\quad y=1,\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R},
e o sistema é SPI.

Exercícios relacionados