Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa, caso seja possível:
l5 x-2 y=4 3 x-y=3,

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares dado usando o Método da Matriz Inversa. Esse método faz parte da Álgebra Linear e é utilizado para encontrar soluções de sistemas de equações quando é possível calcular a matriz inversa. Precisaremos representar o sistema em forma de matriz, encontrar a inversa da matriz dos coeficientes e multiplicá-la pelo vetor dos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz. O sistema dado é:
5x - 2y = 4 3x - y = 3
Podemos escrever isso como A cdot X = B , onde:
A = 5 & -2 3 & -1 , X = x y , B = 4 3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de A , se ela existir. Para isso, vamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
O determinante de A é calculado da seguinte forma:
det(A) = (5)(-1) - (3)(-2) = -5 + 6 = 1
Como det(A) = 1 neq 0 , a matriz inversa existe.

Passo 4

Vamos calcular a matriz inversa de A . Para uma matriz 2 times 2 , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) -1 & 2 -3 & 5
Substituindo det(A) = 1 :
A^-1 = -1 & 2 -3 & 5

Passo 5

Agora, multiplicamos a matriz inversa A^-1 pelo vetor B para encontrar o vetor X (solução do sistema).
X = A^-1 cdot B = -1 & 2 -3 & 5 cdot 4 3
Calculando as multiplicações:
x = (-1)(4) + (2)(3) = -4 + 6 = 2
y = (-3)(4) + (5)(3) = -12 + 15 = 3

Resposta

A solução do sistema é x = 2 e y = 3 .

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