3ª Questão: (3 pontos) Em cada item decida se a matriz A é inversível. Se A é inversível, determine sua inversa, A^{-1}, caso contrário, encontre uma matriz na forma escalonada reduzida linha equivalente à matriz A.
(1,5 pontos ) A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 3 \\\\ -1 & -2 & 4 \\\\ 2 & 4 & -2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 3\\\\ -1 & -2 & 4\\\\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}
é invertível. Se for, determinar A^{-1}; caso contrário, encontrar uma matriz em forma escalonada reduzida linha equivalente a A. O tema é determinante (para testar invertibilidade) e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =0\cdot\begin{vmatrix}-2&4\\\ 4&-2\end{vmatrix} -0\cdot\begin{vmatrix}-1&4\\\ 2&-2\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}-1&-2\\\ 2&4\end{vmatrix} =3\bigl((-1)\cdot4-(-2)\cdot2\bigr) =3(-4+4) =0.
Como \det(A)=0, concluímos que A não é invertível.

Passo 3

Vamos então escalonar A até a forma reduzida. Começamos por
A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3\\\\ -1 & -2 & 4\\\\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}.
  1. Troque R_1 com R_2 e em seguida multiplique R_1 por -1, de modo a ter pivô 1 na posição (1,1):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & 3\\\\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

  1. Zere a entrada (3,1) usando R_1:
R_3\leftarrow R_3-2R_1 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.
  1. Escalone as linhas 2 e 3 para que o pivô seja 1:
R_2\leftarrow \tfrac13R_2,\quad R_3\leftarrow \tfrac16R_3 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

  1. Finalmente, elimine a entrada acima do pivô em (2,3) e a duplicata em R_3:
R_1\leftarrow R_1+4R_2,\quad R_3\leftarrow R_3-R_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz A não é invertível. Uma forma escalonada reduzida linha equivalente a A é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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