4^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: ( 2,5 pontos) Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). Justifique todos os passos!
(a) (1 ponto) ( ) Se A é matriz quadrada tal que A A^{t}=I, então A+A^{-1} é matriz simétrica.
(b) ( 1,5 pontos) ( ) Se 7 A é matriz inversível, então 2 A^{70} é matriz inversível.
Passo 1
O enunciado traz duas afirmações sobre matrizes quadradas. Na parte (a) temos uma matriz A satisfazendo A\,A^{t}=I e queremos saber se A + A^{-1} é simétrica. Na parte (b) queremos decidir se, sendo 7A inversível, a matriz 2\,A^{70} também é inversível. Vamos usar propriedades de matrizes ortogonais, simetria, determinantes e escalares.
Passo 2
Para a parte (a), note que a condição
A\,A^{t}=I
significa que A é uma matriz ortogonal. Uma propriedade fundamental dessas matrizes é que
A^{-1}=A^{t}.
Assim,
A + A^{-1} \;=\; A + A^{t}.
Para verificar se essa soma é simétrica, calculamos sua transposta:
\bigl(A + A^{t}\bigr)^{t} = A^{t} + (A^{t})^{t} = A^{t} + A = A + A^{t},
ou seja, \bigl(A + A^{-1}\bigr)^{t}=A + A^{-1}. Logo, A + A^{-1} é simétrica.
Portanto, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Para a parte (b), a hipótese é que 7A é inversível. Usando determinantes, temos
\det(7A) = 7^{n}\,\det(A)\neq 0
em dimensão n. Como 7^{n}\neq 0, segue \det(A)\neq 0, ou seja, A é inversível.
Se A é inversível, então qualquer potência A^{70} também é inversível, pois
(A^{70})^{-1} = (A^{-1})^{70}.
Multiplicar por um escalar não nulo preserva a inversibilidade. Como 2\neq 0, a matriz
2\,A^{70}
é inversível.
Logo, a afirmação (b) também é verdadeira.