Determine as coordenadas dos vetores \left[v_{i}\right]_{\beta} em relação às bases \beta_{i}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} dadas, em cada caso:
v_{4}=(1,0,0), em relação à base \beta_{4}=\{(1,1,1) ;(-1,1,0) ;(1,0,-1)\}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \left[v_{4}\right]_{\beta_{4}} de \;v_{4}=(1,0,0)\; em relação à base \displaystyle \beta_{4}=\{(1,1,1),\,(-1,1,0),\,(1,0,-1)\}.
Informações dadas que vamos usar:
v_{4}=(1,0,0),\qquad v_1=(1,1,1),\qquad v_2=(-1,1,0),\qquad v_3=(1,0,-1).
O que precisamos encontrar: os escalares \,a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = v_4,
e então escrever \left[v_{4}\right]_{\beta_{4}}=(a,b,c)^{T}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): dizer que \left[v_{4}\right]_{\beta_{4}}=(a,b,c)^{T} significa que representamos v_{4} como combinação linear dos vetores da base:
a(1,1,1)+b(-1,1,0)+c(1,0,-1)=(1,0,0).
Quando os vetores da base são linearmente independentes (hipótese de base), essa representação existe e é única. Nosso trabalho é achar esses três números a,b,c.

Passo 3

Escrevemos a equação componente a componente (isto é, igualando as coordenadas em x,y,z\)): \[\begin{cases} a - b + c = 1 & \text{(componente \(x)},\[4pt] a + b + 0\cdot c = 0 & (componente y),\[4pt] a + 0\cdot b - c = 0 & (componente z). \end{cases}]
Simplificando:
\begin{cases} a - b + c = 1,\\[4pt] a + b = 0,\\[4pt] a - c = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo (método por substituição, bem direto):
  • Da terceira equação \,a - c = 0 obtemos
c = a.
  • Da segunda equação \,a + b = 0 obtemos
b = -a.
  • Substituímos b=-a e c=a na primeira equação a - b + c = 1:
a - (-a) + a = 1.
  • Calculando o lado esquerdo:
a + a + a = 3a.
Logo
3a = 1 \implies a = \tfrac{1}{3}.
  • Usando b=-a e c=a obtemos
b = -\tfrac{1}{3},\qquad c = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (substituir de volta na combinação linear para conferir):
\tfrac{1}{3}(1,1,1)+\big(-\tfrac{1}{3}\big)(-1,1,0)+\tfrac{1}{3}(1,0,-1).
Calculando por componentes:
  • x: \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = 1.
  • y: \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} + 0 = 0.
  • z: \tfrac{1}{3} + 0 - \tfrac{1}{3} = 0.
    Ficou (1,0,0), que é exatamente v_{4}. Portanto os coeficientes estão corretos.

Passo 6

Conclusão: as coordenadas de v_{4} na base \beta_{4} são os escalares encontrados. Colocando em forma de vetor coluna coordenado, temos a representação pedida.

Resposta

\left[v_{4}\right]_{\beta_{4}}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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