Determine as coordenadas dos vetores \left[v_{i}\right]_{\beta} em relação às bases \beta_{i}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} dadas, em cada caso: v_{4}=(1,0,0), em relação à base \beta_{4}=\{(1,1,1) ;(-1,1,0) ;(1,0,-1)\}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \left[v_{4}\right]_{\beta_{4}} de \;v_{4}=(1,0,0)\; em relação à base \displaystyle \beta_{4}=\{(1,1,1),\,(-1,1,0),\,(1,0,-1)\}.
Informações dadas que vamos usar:
O que precisamos encontrar: os escalares \,a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = v_4,
e então escrever \left[v_{4}\right]_{\beta_{4}}=(a,b,c)^{T}.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): dizer que \left[v_{4}\right]_{\beta_{4}}=(a,b,c)^{T} significa que representamos v_{4} como combinação linear dos vetores da base:
a(1,1,1)+b(-1,1,0)+c(1,0,-1)=(1,0,0).
Quando os vetores da base são linearmente independentes (hipótese de base), essa representação existe e é única. Nosso trabalho é achar esses três números a,b,c.
Passo 3
Escrevemos a equação componente a componente (isto é, igualando as coordenadas em x,y,z\)):
\[\begin{cases} a - b + c = 1 & \text{(componente \(x)},\[4pt] a + b + 0\cdot c = 0 & (componente y),\[4pt] a + 0\cdot b - c = 0 & (componente z). \end{cases}]
Simplificando:
\begin{cases} a - b + c = 1,\\[4pt] a + b = 0,\\[4pt] a - c = 0. \end{cases}]
Passo 4
Resolvendo o sistema passo a passo (método por substituição, bem direto):
Da terceira equação \,a - c = 0 obtemos
c = a.
Da segunda equação \,a + b = 0 obtemos
b = -a.
Substituímos b=-a e c=a na primeira equação a - b + c = 1:
a - (-a) + a = 1.
Calculando o lado esquerdo:
a + a + a = 3a.
Logo
3a = 1 \implies a = \tfrac{1}{3}.
Usando b=-a e c=a obtemos
b = -\tfrac{1}{3},\qquad c = \tfrac{1}{3}.
Passo 5
Verificação rápida (substituir de volta na combinação linear para conferir):
z: \tfrac{1}{3} + 0 - \tfrac{1}{3} = 0.
Ficou (1,0,0), que é exatamente v_{4}. Portanto os coeficientes estão corretos.
Passo 6
Conclusão: as coordenadas de v_{4} na base \beta_{4} são os escalares encontrados. Colocando em forma de vetor coluna coordenado, temos a representação pedida.