Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
llrx1+2 x2-x3 & = & 5 x1+x2+x3 & = & 1 2 x1-2 x2+x3 & = & 4 5 x1+3 x2 & = & -15

Passo 1

Estamos diante de um sistema de quatro equações e três incógnitas, ou seja, um sistema possivelmente sobredeterminado. O método de eliminação de Gauss consiste em montar a matriz aumentada do sistema, usar operações elementares sobre as linhas para triangular e, se necessário, detectar inconsistências ou graus de liberdade.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid br] correspondente ao sistema
x1+2x2-x3&=5, x1+x2+x3&=1, 2x1-2x2+x3&=4, 5x1+3x2+0cdot x3&=-15
A matriz fica
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 5 1 & 1 & 1 & 1 2 & -2 & 1 & 4 5 & 3 & 0 & -15 ]

Passo 3

Eliminamos x1 nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô:
L2& L2-L1Longrightarrow[0,,-1,,2mid -4], L3& L3-2L1Longrightarrow[0,,-6,,3mid -6], L4& L4-5L1Longrightarrow[0,,-7,,5mid -40]
A matriz torna-se
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 5 0 & -1 & 2 & -4 0 & -6 & 3 & -6 0 & -7 & 5 & -40 ]

Passo 4

Escalamos L2 multiplicando por -1 e usamos como pivô de x2:
L2 -1cdot L2=[0,,1,,-2mid 4]
Eliminamos x2 em L3 e L4:
L3& L3+6L2Longrightarrow[0,,0,,-9mid 18], L4& L4+7L2Longrightarrow[0,,0,,-9mid -12]
Agora temos
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 5 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & -9 & 18 0 & 0 & -9 & -12 ]

Passo 5

Tomando a linha 3 como pivô para x3, poderíamos escalar L3 por -tfrac13 e eliminar em L4, mas ao fazermos isso vemos que a linha 4 reduz a
[0;0;0mid -30],
o que equivale à equação impossível 0=-30. Isso identifica uma inconsistência no sistema.

Resposta

O sistema é incompatível, logo não possui solução (grau de liberdade não se aplica).

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