Considere a equação matricial A C^2 X^t=C, onde A e C são matrizes invertíveis
(a) Determine X em função de A e C.
(b) Calcule X, se A=C=[ccc1 & 0 & 1 -6 & 2 & 3 -1 & -1 & -3].

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A,C^2,X^t=C
onde A e C são invertíveis. Pede-se (a) isolar X em função de A e C e (b) calcular X quando
A=C = 1 & 0 & 1 -6 & 2 & 3 -1 & -1 & -3
O conteúdo principal é manipulação de inversas e transpostas de matrizes.

Passo 2

Para isolar X fazemos:
A,C^2,X^t=C ;Longrightarrow; X^t=(A,C^2)^-1,C
Como (MN)^-1=N^-1M^-1, temos
(A,C^2)^-1= (C^2)^-1A^-1=C^-2A^-1
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X^t=C^-2A^-1C Longrightarrow X=l(X^tr)^t =C^t,(A^-1)^t,(C^-2)^t

Passo 3

No caso A=C=M, a equação vira
M,M^2,X^t=M ;Longrightarrow; M^3X^t=M ;Longrightarrow; X^t=M^-2,
pois basta multiplicar à esquerda por (M^3)^-1=M^-3. Portanto
X=l(M^-2r)^t

Passo 4

Vamos calcular ;M^-2=(M^-1)^2 e depois transpor.
  1. Determinante de M:
det(M) =1cdotdet2&3-1&-3 -0+;1cdotdet-6&2-1&-1 =1cdot(-6+3)+1cdot(6+2)=5
  1. Matriz dos cofatores de M:
cof(M) = -3 & -21 & 8 -1 & -2 & 1 -2 & -9 & 2 ,
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M^-1=15,cof(M)^T =15 -3 & -1 & -2 -21& -2 & -9 8 & 1 & 2
  1. Calcular (M^-1)^2. Seja C=cof(M)^T. Então
C= -3 & -1 & -2 -21& -2 & -9 8 & 1 & 2 ,
C^2 = 14 & 33 & -29 3 & 16 & -8 11 & 42 & -21
Assim
M^-2=(M^-1)^2 =125,C^2 =125 14 & 33 & -29 3 & 16 & -8 11 & 42 & -21
  1. Finalmente
X=(M^-2)^t =125 14 & 3 & 11 33 & 16& 42 -29& -8& -21

Resposta

boxed (a) X=C^t(A^-1)^t(C^-2)^t, (b) X =125 141 & 31 & 111 331 & 161& 421 -291& -81& -211 =125 14 & 3 & 11 33 & 16& 42 -29& -8& -21

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