Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para resolver o sistema
5x+5y=5, 2x+z=0, 5x+y-z=1,
usando o método de eliminação de Gauss. A ideia é montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha para triangularizar e depois voltar substituindo.
Escolhemos a11=5 como pivô inicial e vamos zerar as entradas abaixo dele.
Passo 3
Para zerar a entrada da segunda linha e primeira coluna, aplicamos L25L2-2L1. Como
5L2=(10,;0,;5|;0), 2L1=(10,;10,;0|;10),
subtraindo obtemos -10y+5z=-10, que simplifica para -2y+z=-2.
Em seguida, para zerar a entrada da terceira linha e primeira coluna, aplicamos L3 L3-L1, o que gera -4y - z=-4, ou seja, 4y+z=4.
Assim, o sistema vira
5x+5y=5, -2y+z=-2, 4y+z=4
Passo 4
Agora a gente elimina z da terceira equação subtraindo a segunda:
(4y+z)-(-2y+z)=4-(-2)implies 6y=6implies y=1
Substituindo y=1 em -2y+z=-2 temos
-2cdot1+z=-2implies z=0
Passo 5
Com y=1 e z=0 na mão, voltamos à primeira equação:
5x+5cdot1=5implies 5x+5=5implies 5x=0implies x=0
Passo 6
Pronto, a solução é (x,y,z)=(0,1,0). Como apareceu apenas uma solução, o sistema é determinado e o grau de liberdade é zero.