Determine o valor de k de modo que o sistema
rll -x+2 y+k z & = & 1 k x+4 y-4 z & = & 2 2 x+y+z & = & -2 k
seja:
indeterminado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
rll - x + 2 y + k z & = & 1 k x + 4 y - 4 z & = & 2 2 x + y + z & = & -2 k
O objetivo é descobrir o valor de que faz esse sistema ter infinitas soluções, ou seja, ser indeterminado. Para isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
C = -1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1
Para que o sistema seja indeterminado, o determinante dessa matriz precisa ser igual a zero. Então, vamos calcular .

Passo 3

Calculando o determinante:
det(C) = -1 cdot (4 cdot 1 - (-4) cdot 1) - 2 cdot (k cdot 1 - (-4) cdot 2) + k cdot (k cdot 1 - 4 cdot 2)
Simplificando:
det(C) = -1 cdot (4 + 4) - 2 cdot (k + 8) + k cdot (k - 8)
det(C) = -8 - 2k - 16 + k^2 - 8k
det(C) = k^2 - 10k - 24
Para o sistema ser indeterminado, igualamos a zero:
k^2 - 10k - 24 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de k = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-24)2 cdot 1 = 10 pm raiz100 + 962 = 10 pm raiz1962 = 10 pm 142 :
k = 10 + 142 = 12 e k = 10 - 142 = -2
Portanto, temos duas soluções:

Passo 5

Agora, precisamos verificar qual desses valores de - x + 2 y + 12 z = 1 12 x + 4 y - 4 z = 2 2 x + y + z = -24 realmente torna o sistema indeterminado. Isso significa que o sistema deve ser consistente (não apresentar contradições).
Para - x + 2 y - 2 z = 1 -2 x + 4 y - 4 z = 2 2 x + y + z = 4 :
Substituindo nas equações:
Resolvendo, percebemos que as equações levam a uma contradição (não têm solução comum). Portanto, não é válido.
Para :
Substituindo :
Observamos que a segunda equação é o dobro da primeira, o que indica dependência entre as equações. Além disso, a terceira equação é consistente com as demais, resultando em infinitas soluções.

Resposta

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