Seja E um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio X subset E é o conjunto X^perp formado pelos vetores v in E que são ortogonais a todos os vetores x in X. Para todo subespaço F subset E mostre que
(F^perp)^perp=F.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial E com um produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto X em E, denotado por X^perp, é o conjunto de todos os vetores em E que são ortogonais a cada vetor de X. A questão quer que mostremos que, para qualquer subespaço F de E, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de F é igual a F mesmo, ou seja, (F^perp)^perp = F. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o conceito de complemento ortogonal e propriedades de subespaços em espaços com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a outro. Dois vetores u e v em E são ortogonais se o produto interno lang<= u, v rang<= = 0. O complemento ortogonal F^perp é, portanto, o conjunto de todos os vetores em E que são ortogonais a todos os vetores de F.

Passo 3

Agora, queremos entender o que é (F^perp)^perp. Isso significa pegar o complemento ortogonal do conjunto F^perp. Então, (F^perp)^perp é o conjunto de todos os vetores em E que são ortogonais a todos os vetores que são ortogonais a F.

Passo 4

Vamos provar que (F^perp)^perp = F. Para isso, precisamos mostrar duas inclusões:
  1. F subseteq (F^perp)^perp
  2. (F^perp)^perp subseteq F

Passo 5

Primeiro, mostramos que F subseteq (F^perp)^perp. Seja v in F. Queremos mostrar que v in (F^perp)^perp, ou seja, que v é ortogonal a todo w in F^perp. Como w in F^perp, temos que lang<= w, f rang<= = 0 para todo f in F. Em particular, lang<= w, v rang<= = 0. Portanto, v está em (F^perp)^perp.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que (F^perp)^perp subseteq F. Seja v in (F^perp)^perp. Precisamos provar que v in F. Suponha, para chegar a uma contradição, que v notin F. Como F é um subespaço fechado em relação ao produto interno, pelo Teorema de Projeção Ortogonal, podemos decompor v como v = f + u, onde f in F e u in F^perp. Mas v in (F^perp)^perp significa que u deve ser zero, caso contrário, teríamos u in F^perp e lang<= u, v rang<= neq 0, o que contraria a definição de (F^perp)^perp. Portanto, u = 0 e v = f in F.

Passo 7

Como mostramos que F subseteq (F^perp)^perp e que (F^perp)^perp subseteq F, concluímos que (F^perp)^perp = F.

Resposta

Para todo subespaço F de E, temos que (F^perp)^perp = F.

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