Seja
um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio
é o conjunto
formado pelos vetores
que são ortogonais a todos os vetores
. Para todo subespaço
mostre que
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com um produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto
em
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor de
. A questão quer que mostremos que, para qualquer subespaço
de
, o complemento ortogonal do complemento ortogonal de
é igual a
mesmo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o conceito de complemento ortogonal e propriedades de subespaços em espaços com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser ortogonal a outro. Dois vetores
e
em
são ortogonais se o produto interno
. O complemento ortogonal
é, portanto, o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores de
.
Passo 3
Agora, queremos entender o que é
. Isso significa pegar o complemento ortogonal do conjunto
. Então,
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores que são ortogonais a
.
Passo 4
Vamos provar que
. Para isso, precisamos mostrar duas inclusões:
Passo 5
Primeiro, mostramos que
. Seja
. Queremos mostrar que
, ou seja, que
é ortogonal a todo
. Como
, temos que
para todo
. Em particular,
. Portanto,
está em
.
Passo 6
Agora, vamos mostrar que
. Seja
. Precisamos provar que
. Suponha, para chegar a uma contradição, que
. Como
é um subespaço fechado em relação ao produto interno, pelo Teorema de Projeção Ortogonal, podemos decompor
como
, onde
e
. Mas
significa que
deve ser zero, caso contrário, teríamos
e
, o que contraria a definição de
. Portanto,
e
.
Passo 7
Como mostramos que
e que
, concluímos que
.
Resposta
Para todo subespaço
de
, temos que
.