Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-z & +w=0 \\\\ -x-y+2 z & -3 t+w=0 \\\ x+y-2 z & -w=0 \\\ z+t+w & =0\end{array}\right.,

Passo 1

O enunciado pede para resolver por Gauss–Jordan o sistema
\begin{cases} x + 2y - z + w = 0,\\\\ -\,x - y + 2z - 3t + w = 0,\\\ x + y - 2z - w = 0,\\\ z + t + w = 0, \end{cases}
e depois classificá-lo (única solução, infinitas soluções ou sem solução).
Para isso, vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares até a forma reduzida (RREF) e ler a solução.

Passo 2

Em ordem de variáveis (x,y,z,t,w), a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].
O objetivo do Gauss–Jordan é usar pivôs para zerar todas as outras entradas na mesma coluna, obtendo 1s nos pivôs e 0s em todo mais.

Passo 3

Usamos o pivô (1,1) na primeira linha para zerar abaixo e acima:
R 2\to R 2+R1, R 3\to R3−R1.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Agora pivô em (2,2). Zeramos em R1 e R3:
R 1\to R1− 2\cdotR2, R 3\to R 3+R2.
Fica
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Trocamos R3↔R4 para trazer o próximo pivô para a linha 3:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -3 & 6 & -3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \end{array}\right].
Em seguida zeramos acima do pivô (3,3):
R 1\to R 1+3\cdotR3, R 2\to R2−R3, o que resulta em
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 9 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Normalize o pivô em (4,4): R 4\to (−1/3)·R4 dando R 4= (0\,0\,0\,1\,0\,|\,0).
Depois zeramos nas colunas acima:
R 1\to R1− 9\cdotR4, R 2\to R 2+4\cdotR4, R 3\to R3−R4.
No fim obtemos a forma reduzida
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Da RREF lemos as equações:
\begin{cases} x = 0,\\\ y + w = 0,\\\ z + w = 0,\\\ t = 0. \end{cases}
Como sobra w livre, definimos w = \lambda\in\mathbb{R}. Então
x = 0,\quad y = -\lambda,\quad z = -\lambda,\quad t = 0,\quad w = \lambda.

Resposta

O sistema é possível indeterminado (infinitas soluções) com parâmetro \lambda.
(x,y,z,t,w) = (0,\,-\lambda,\,-\lambda,\,0,\,\lambda),\quad \lambda\in\mathbb{R}.

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