Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned}2 x+3 y & =13 \\\ x-2 y & =3, \\\\ 5 x+2 y & =27\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} 2x + 3y = 13,\\\ x - 2y = 3,\\\\ 5x + 2y = 27 \end{cases}
e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss–Jordan e classificá-lo (se é compatível e determinado, compatível indeterminado ou incompatível). Vamos montar a matriz aumentada e reduzir a forma escalonada reduzida.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e trocamos a primeira e a segunda linha para ter pivot 1 em cima:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\\\ 2 & 3 & 13\\\\ 5 & 2 & 27 \end{array}\right]
Agora eliminamos os elementos abaixo do pivot da coluna 1:
R2 ← R2 – 2\cdotR1 e R3 ← R3 – 5\cdotR1,
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 7 & 7\\\\ 0 & 12 & 12 \end{array}\right].

Passo 3

Tornamos o segundo pivot igual a 1 dividindo R2 por 7, e eliminamos as outras entradas da coluna 2:
R2 ← (1/7)·R2, R1 ← R 1+2\cdotR2, R3 ← R3 – 12\cdotR2,
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 5\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Esta é a forma escalonada reduzida.

Passo 4

Da matriz final lemos diretamente
x = 5,\quad y = 1.
A terceira linha virou 0=0, o que mostra que a terceira equação era redundante. Como o posto da matriz de coeficientes é 2, igual ao número de incógnitas, e igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é compatível e determinado.

Resposta

x = 5,\; y = 1.
O sistema é compatível determinado.

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