(Série de Potência - Solução de EDO) A equação diferencial
y^{\prime \prime}-y=0
tem como solução y(x)=a \cos (x)+b \operatorname{sen}(x). Escolha a=1 e b=0 e expresse y(x) na forma de série de potência centrada em x=0. Escreva os quatro primeiros termos da série.

Passo 1

O enunciado dá a solução geral
y(x)=a\cos(x)+b\operatorname{sen}(x)
da equação diferencial e nos pede para escolher a=1, b=0, ou seja
y(x)=\cos(x)
e então escrever y(x) como série de potência centrada em x=0.

Passo 2

Para obter a série de potência de \cos(x) em torno de 0, lembramos da sua expansão de Taylor:
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Agora extraímos os quatro primeiros termos não nulos da soma, correspondentes a n=0,1,2,3:
n=0:
(-1)^0\frac{x^0}{0!}=1
n=1:
(-1)^1\frac{x^2}{2!}=-\frac{x^2}{2}
n=2:
(-1)^2\frac{x^4}{4!}=\frac{x^4}{24}
n=3:
(-1)^3\frac{x^6}{6!}=-\frac{x^6}{720}

Resposta

y(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\dots

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