e pergunta explicitamente se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes fornecidas: \;1.\; A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0). \;2.\; O valor atribuído em (0,0) é f(0,0)=0. \;3.\; Devemos verificar diferenciabilidade em (0,0).]
Passo 2
Vou lembrar (com linguagem direta) o que significa ser diferenciável em (0,0) — isso é importante para saber o que testar:
Definição (forma que vamos usar). A função f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
Uma observação prática muito útil: se f não é contínua em (0,0), então ela definitivamente não é diferenciável ali (diferenciabilidade implica continuidade). Portanto, um caminho rápido para provar que f não é diferenciável é mostrar que f não é contínua em (0,0).
Vou seguir esse caminho porque é o mais direto: testar a continuidade mostrando um caminho onde o limite ao aproximar (0,0) não dá 0.
Passo 3
Teste de continuidade ao longo de uma reta simples: escolher a reta \;y=x\; (é uma escolha natural e simples). Substituindo y=x na fórmula para (x,y)\neq(0,0) obtemos
Agora analisamos o comportamento de \frac{1}{2x} quando x\to0. Claramente
\lim_{x\to0}\frac{1}{2x}
não existe (a expressão tem comportamento não limitado: tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-). Logo, ao aproximarmos (x,x)\to(0,0) a função f(x,x) não tende a 0=f(0,0).
Portanto a limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não é 0: existe um caminho (por exemplo y=x) em que os valores de f se tornam arbitrariamente grandes em módulo, não se aproximando de 0.
Passo 4
Conclusão imediata da etapa anterior: f não é contínua em (0,0). Como a diferenciabilidade exige continuidade naquele ponto, segue que f não é diferenciável em (0,0).
Para fixar o entendimento, vou mostrar também o que aconteceria com as derivadas parciais em (0,0), só para reforçar por outro ângulo (isso não é necessário para concluir, mas é didático):
Cálculo de \partial f/\partial x(0,0) (derivada parcial em x no ponto (0,0)):
Para x=0 e h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{h}{0+h^2}=\dfrac{1}{h}. Então
\frac{f(0,h)-0}{h}=\frac{1/h}{h}=\frac{1}{h^{2}},
cujo limite quando h\to0 diverge para +\infty. Portanto a derivada parcial em y não existe (não é um número finito). Isso é coerente com a falta de continuidade e com a não diferenciabilidade.
Passo 5
Recapitulando de forma direta e amigável: encontramos um caminho (y=x) que faz f(x,y) explodir quando nos aproximamos da origem; isso mostra que f não é contínua em (0,0). Como diferenciabilidade implica continuidade, concluímos que f não é diferenciável em (0,0). Além disso, uma das derivadas parciais (\partial f/\partial y) nem sequer existe finitamente, o que também impede diferenciabilidade.