(valor: 1,5) Verifique se f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right. é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta explicitamente se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes fornecidas:
\;1.\; A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
\;2.\; O valor atribuído em (0,0) é f(0,0)=0.
\;3.\; Devemos verificar diferenciabilidade em (0,0).]

Passo 2

Vou lembrar (com linguagem direta) o que significa ser diferenciável em (0,0) — isso é importante para saber o que testar:
Definição (forma que vamos usar). A função f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
Uma observação prática muito útil: se f não é contínua em (0,0), então ela definitivamente não é diferenciável ali (diferenciabilidade implica continuidade). Portanto, um caminho rápido para provar que f não é diferenciável é mostrar que f não é contínua em (0,0).
Vou seguir esse caminho porque é o mais direto: testar a continuidade mostrando um caminho onde o limite ao aproximar (0,0) não dá 0.

Passo 3

Teste de continuidade ao longo de uma reta simples: escolher a reta \;y=x\; (é uma escolha natural e simples). Substituindo y=x na fórmula para (x,y)\neq(0,0) obtemos
f(x,x)=\frac{x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{x}{2x^{2}}=\frac{1}{2x},\qquad x\neq0.
Agora analisamos o comportamento de \frac{1}{2x} quando x\to0. Claramente
\lim_{x\to0}\frac{1}{2x}
não existe (a expressão tem comportamento não limitado: tende a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-). Logo, ao aproximarmos (x,x)\to(0,0) a função f(x,x) não tende a 0=f(0,0).
Portanto a limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não é 0: existe um caminho (por exemplo y=x) em que os valores de f se tornam arbitrariamente grandes em módulo, não se aproximando de 0.

Passo 4

Conclusão imediata da etapa anterior: f não é contínua em (0,0). Como a diferenciabilidade exige continuidade naquele ponto, segue que f não é diferenciável em (0,0).
Para fixar o entendimento, vou mostrar também o que aconteceria com as derivadas parciais em (0,0), só para reforçar por outro ângulo (isso não é necessário para concluir, mas é didático):
Cálculo de \partial f/\partial x(0,0) (derivada parcial em x no ponto (0,0)):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{0}{h^2+0}=0. Então
\frac{f(h,0)-0}{h}=\frac{0}{h}=0
e o limite é 0. Assim \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Cálculo de \partial f/\partial y(0,0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para x=0 e h\neq0 temos f(0,h)=\dfrac{h}{0+h^2}=\dfrac{1}{h}. Então
\frac{f(0,h)-0}{h}=\frac{1/h}{h}=\frac{1}{h^{2}},
cujo limite quando h\to0 diverge para +\infty. Portanto a derivada parcial em y não existe (não é um número finito). Isso é coerente com a falta de continuidade e com a não diferenciabilidade.

Passo 5

Recapitulando de forma direta e amigável: encontramos um caminho ( y=x) que faz f(x,y) explodir quando nos aproximamos da origem; isso mostra que f não é contínua em (0,0). Como diferenciabilidade implica continuidade, concluímos que f não é diferenciável em (0,0). Além disso, uma das derivadas parciais ( \partial f/\partial y) nem sequer existe finitamente, o que também impede diferenciabilidade.

Resposta

Não, f não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados