Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(m)\left\{\begin{array}{rl}x+2 y+3 z & =-6 \\\\ 2 x-3 y-4 z & =15 \\\\ 3 x+4 y+5 z & =-8\end{array},\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o sistema linear usando o método de Gauss–Jordan e (2) classificá-lo (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível). O sistema fornecido é
(m)\begin{cases} x+2y+3z=-6,\\[4pt] 2x-3y-4z=15,\\[4pt] 3x+4y+5z=-8. \end{cases}
As incógnitas são x, y e z. Não há outros parâmetros no sistema além das incógnitas acima.]

Passo 2

Breve lembrete do método (sem pressa, passo a passo): Gauss–Jordan transforma a matriz aumentada do sistema até chegar à forma reduzida por linhas (onde a parte dos coeficientes fica, idealmente, a matriz identidade). As operações permitidas (elementares) são:
\begin{aligned} &\text{(O1) trocar duas linhas},\\\ &\text{(O2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo},\\\ &\text{(O3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.} \end{aligned}ãú
O objetivo final é obter uma matriz com pivôs iguais a 1 e zeros em todas as outras posições das colunas-pivô, daí lê-se diretamente x,y,z. Vou aplicar essas operações mostrando cada passo e as contas.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 2 & -3 & -4 & 15\\[4pt] 3 & 4 & 5 & -8 \end{array}\right].]

Passo 4

Elimino os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 para zerar as entradas de R_2 e R_3):
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-3R_1.
Calculemos cada nova linha:
R_2: \;[2,-3,-4\mid 15]-2[1,2,3\mid -6]=[0,-7,-10\mid 27],
R_3: \;[3,4,5\mid -8]-3[1,2,3\mid -6]=[0,-2,-4\mid 10].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 0 & -7 & -10 & 27\\[4pt] 0 & -2 & -4 & 10 \end{array}\right].]

Passo 5

Obtenho um pivô igual a 1 na segunda linha dividindo R_2 por -7:
R_2\leftarrow \frac{1}{-7}R_2.
Isso dá
R_2=[0,1,\tfrac{10}{7}\mid -\tfrac{27}{7}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{10}{7} & -\tfrac{27}{7}\\[4pt] 0 & -2 & -4 & 10 \end{array}\right].]

Passo 6

Zerro a entrada da segunda coluna em R_3 usando R_2:
R_3\leftarrow R_3+2R_2.
Calculemos:
R_3:[0,-2,-4\mid 10]+2[0,1,\tfrac{10}{7}\mid -\tfrac{27}{7}]=[0,0,-\tfrac{8}{7}\mid \tfrac{16}{7}].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{10}{7} & -\tfrac{27}{7}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{8}{7} & \tfrac{16}{7} \end{array}\right].]

Passo 7

Faço o pivô da terceira linha igual a 1 dividindo R_3 por -\tfrac{8}{7} (que é o mesmo que multiplicar por -\tfrac{7}{8}):
R_3\leftarrow \frac{1}{-\tfrac{8}{7}}R_3 = -\tfrac{7}{8}R_3.
Como \tfrac{16}{7}\cdot\big(-\tfrac{7}{8}\big)=-2, obtemos
R_3=[0,0,1\mid -2].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{10}{7} & -\tfrac{27}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 8

Eliminação para obter zeros acima do pivô z (coluna 3): uso R_3 para limpar R_2 e R_1.
Primeiro
R_2\leftarrow R_2-\tfrac{10}{7}R_3.
RHS de R_2: -\tfrac{27}{7}-\tfrac{10}{7}\cdot(-2)=-\tfrac{27}{7}+\tfrac{20}{7}=-\tfrac{7}{7}=-1.
Logo R_2=[0,1,0\mid -1].
Depois
R_1\leftarrow R_1-3R_3.
RHS de R_1: -6-3\cdot(-2)=-6+6=0.
Então R_1=[1,2,0\mid 0].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 9

Por fim, zerei a entrada de y em R_1 usando R_2:
R_1\leftarrow R_1-2R_2.
RHS de R_1: 0-2\cdot(-1)=2. Assim R_1=[1,0,0\mid 2].
A forma reduzida final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].
Daqui lê-se diretamente
x=2,\qquad y=-1,\qquad z=-2.]

Passo 10

Classificação: como obtivemos uma única solução (a matriz de coeficientes reduziu-se à identidade e cada incógnita tem um valor determinado), o sistema é compatível determinado.

Resposta

x=2,\;y=-1,\;z=-2
Sistema compatível determinado.

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