Determine a equação canônica da elipse:
Com centro em C(-3,0), um foco em F_{1}(-1,0) e tangente ao eixo dos x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Centro da elipse: C(-3,0).
  • Um foco: F_{1}(-1,0).
  • A elipse é dita "tangente ao eixo dos x" (isto é, tangente à reta y=0).
    O que o exercício pede:
  • Determinar a equação canônica da elipse que satisfaz essas condições.

Passo 2

Entender a forma canônica e os parâmetros de uma elipse (aula rápida e concreta).
  • Se a elipse tem centro em (h,k) e eixo maior horizontal, a forma canônica é
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,
onde:
  • a>0 é o semi-eixo maior (meia‑distância entre os vértices ao longo do eixo maior);
  • b>0 é o semi-eixo menor;
  • c>0 é a distância do centro a cada foco.
  • As relações entre esses parâmetros (para elipse com eixo maior horizontal) são
c^2=a^2-b^2,
e os focos ficam em (h\pm c,k).
Explicação intuitiva: a controla a extensão da elipse na direção do eixo maior; b na direção perpendicular; c mede onde estão os focos. A relação c^2=a^2-b^2 vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias a dois focos constante) e é padrão.

Passo 3

Aplicar os dados para obter c e determinar a orientação do eixo maior.
  • O centro é C(-3,0) e o foco dado é F_1(-1,0). Ambos têm a mesma coordenada y=0, então os focos estão sobre a linha y=0. Logo o eixo maior é horizontal.
  • A distância do centro ao foco é
c = |{-1}-(-3)| = |2| = 2.
Portanto c=2. Os dois focos seriam (-3\pm2,0)=(-1,0) e (-5,0).

Passo 4

Analisar rigorosamente a condição "tangente ao eixo dos x" (reta y=0).
  • Ser tangente à reta y=0 significa que a reta y=0 toca a elipse em exatamente um ponto.
  • Para a elipse com centro (h,k)=(-3,0) e eixo maior horizontal a equação é
\frac{(x+3)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
  • Substituindo y=0 (intersecção com o eixo x) obtemos
\frac{(x+3)^2}{a^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)^2=a^2,
ou seja x=-3\pm a. Isso dá sempre dois pontos distintos na reta y=0 (a menos que a=0, caso degenerado).
  • Conclusão lógica: uma elipse não degenerada com centro em ( -3,0) e eixo maior horizontal NÃO pode ser tangente à reta y=0; a reta y=0 atravessa a elipse em dois pontos. Para que fosse tangente à reta y=0 precisaríamos de a=0, o que faz a elipse degenerar (não é uma elipse propriamente dita).
    Portanto, com os dados exatamente como dados (centro em (-3,0), foco em (-1,0) e tangente ao eixo x), NÃO existe uma elipse não degenerada que satisfaça todas as três condições simultaneamente.

Passo 5

Interpretação prática e resolução alternativa provável (uma leitura comum do enunciado).
  • É muito comum, nesses problemas, confundir "eixo dos x" com "eixo dos y" ou haver um erro de digitação. Se o enunciado pretendia dizer que a elipse é tangente ao eixo dos y (reta x=0), então as condições são compatíveis e podemos encontrar a equação.
  • Vou resolver esse caso plausível: centro C(-3,0), foco F_1(-1,0) (então c=2), e tangente ao eixo dos y (reta x=0).

Passo 6

Resolver o caso plausível: tangente à reta x=0.
  • Para uma elipse com centro em (h,k)=(-3,0) e eixo maior horizontal, o vértice direito (o ponto mais à direita) tem abscissa h+a.
  • Se a elipse é tangente à reta x=0 então a fronteira direita da elipse toca x=0 em um único ponto, logo
h+a=0 \quad\Longrightarrow\quad -3 + a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a=3.
  • Usando c=2 e a relação c^2=a^2-b^2, obtemos
b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5.
  • Assim a equação canônica (com h=-3, k=0) é
\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1.

Passo 7

Verificações (para garantir que está tudo consistente no caso plausível):
  • Cálculo de c: c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 5 = 4, então c=2 — corresponde ao foco dado (-1,0).
  • Tangência à reta x=0: o vértice direito é x = h+a = -3+3=0, logo a reta x=0 é tocada exatamente naquele ponto.
  • A equação obtida é, portanto, consistente com as condições quando interpretamos "tangente ao eixo dos y".

Resposta

Nenhuma elipse não degenerada satisfaz simultaneamente: centro C(-3,0), foco F_1(-1,0) e ser tangente ao eixo dos x (reta y=0).
Se o enunciado pretendia dizer que a elipse é tangente ao eixo dos y (reta x=0), então a equação canônica é
\frac{(x+3)^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1.

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