Determine a equação canônica da elipse:
Com centro em
, um foco em
e tangente ao eixo dos
.
Com centro em
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- Centro da elipse:
. - Um foco:
. - A elipse é dita "tangente ao eixo dos
" (isto é, tangente à reta ).
O que o exercício pede: - Determinar a equação canônica da elipse que satisfaz essas condições.
Passo 2
Entender a forma canônica e os parâmetros de uma elipse (aula rápida e concreta).
- Se a elipse tem centro em
e eixo maior horizontal, a forma canônica é
onde:
-
é o semi-eixo maior (meia‑distância entre os vértices ao longo do eixo maior); -
é o semi-eixo menor; -
é a distância do centro a cada foco. - As relações entre esses parâmetros (para elipse com eixo maior horizontal) são
e os focos ficam em
.
Explicação intuitiva: controla a extensão da elipse na direção do eixo maior;
na direção perpendicular;
mede onde estão os focos. A relação
vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias a dois focos constante) e é padrão.
Explicação intuitiva:
Passo 3
Aplicar os dados para obter
e determinar a orientação do eixo maior.
- O centro é
e o foco dado é . Ambos têm a mesma coordenada , então os focos estão sobre a linha . Logo o eixo maior é horizontal. - A distância do centro ao foco é
Portanto
. Os dois focos seriam
e
.
Passo 4
Analisar rigorosamente a condição "tangente ao eixo dos
" (reta
).
- Ser tangente à reta
significa que a reta toca a elipse em exatamente um ponto. - Para a elipse com centro
e eixo maior horizontal a equação é
- Substituindo
(intersecção com o eixo ) obtemos
ou seja
. Isso dá sempre dois pontos distintos na reta
(a menos que
, caso degenerado).
- Conclusão lógica: uma elipse não degenerada com centro em
e eixo maior horizontal NÃO pode ser tangente à reta ; a reta atravessa a elipse em dois pontos. Para que fosse tangente à reta precisaríamos de , o que faz a elipse degenerar (não é uma elipse propriamente dita).
Portanto, com os dados exatamente como dados (centro em, foco em e tangente ao eixo ), NÃO existe uma elipse não degenerada que satisfaça todas as três condições simultaneamente.
Passo 5
Interpretação prática e resolução alternativa provável (uma leitura comum do enunciado).
- É muito comum, nesses problemas, confundir "eixo dos
" com "eixo dos " ou haver um erro de digitação. Se o enunciado pretendia dizer que a elipse é tangente ao eixo dos (reta ), então as condições são compatíveis e podemos encontrar a equação. - Vou resolver esse caso plausível: centro
, foco (então ), e tangente ao eixo dos (reta ).
Passo 6
Resolver o caso plausível: tangente à reta
.
- Para uma elipse com centro em
e eixo maior horizontal, o vértice direito (o ponto mais à direita) tem abscissa . - Se a elipse é tangente à reta
então a fronteira direita da elipse toca em um único ponto, logo
- Usando
e a relação , obtemos
- Assim a equação canônica (com
, ) é
Passo 7
Verificações (para garantir que está tudo consistente no caso plausível):
- Cálculo de
: , então — corresponde ao foco dado . - Tangência à reta
: o vértice direito é , logo a reta é tocada exatamente naquele ponto. - A equação obtida é, portanto, consistente com as condições quando interpretamos "tangente ao eixo dos
".
Resposta
Nenhuma elipse não degenerada satisfaz simultaneamente: centro
, foco
e ser tangente ao eixo dos
(reta
).
Se o enunciado pretendia dizer que a elipse é tangente ao eixo dos (reta
), então a equação canônica é
Se o enunciado pretendia dizer que a elipse é tangente ao eixo dos