Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(u)\left\{\begin{array}{r}x+5 y+4 z-13 t=3 \\\\ 3 x-y+2 z+5 t=2 \\\\ 2 x+2 y+3 z-4 t=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jordan e classificar o sistema. As equações dadas são:
(u)\begin{cases} x+5y+4z-13t=3,\\[4pt] 3x-y+2z+5t=2,\\[4pt] 2x+2y+3z-4t=1. \end{cases}
Informações relevantes: são três equações e quatro incógnitas x,y,z,t. A tarefa é aplicar Gauss-Jordan até identificar a solução (se existir) e então dizer se o sistema é possível determinado, possível indeterminado ou impossível.]

Passo 2

Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada — isso organiza as contas e é o ponto de partida do Método de Gauss-Jordan. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\[4pt] 3 & -1 & 2 & 5 & 2\\[4pt] 2 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right].
Explicando rápido (para não pular etapas): na matriz cada linha corresponde a uma equação e as colunas correspondem às incógnitas x,y,z,t e à coluna de termos independentes (lado direito). O objetivo do Gauss-Jordan é, por operações elementares de linha, transformar a parte esquerda numa forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida) para ler as soluções diretamente.]

Passo 3

Começo eliminando os elementos abaixo do pivô da primeira coluna. O pivô inicial é 1 na linha 1. Faço as operações:
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 3\text{L}_1,\qquad \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 2\text{L}_1.
Calculemos termo a termo:
Para \text{L}_2-3\text{L}_1:
\begin{array}{rcl} 3-3\cdot1 &=& 0,\\\\ -1-3\cdot5 &=& -1-15 = -16,\\\\ 2-3\cdot4 &=& 2-12 = -10,\\\\ 5-3\cdot(-13) &=& 5+39 = 44,\\\\ 2-3\cdot3 &=& 2-9 = -7. \end{array}
Para \text{L}_3-2\text{L}_1:
\begin{array}{rcl} 2-2\cdot1 &=& 0,\\\\ 2-2\cdot5 &=& 2-10 = -8,\\\\ 3-2\cdot4 &=& 3-8 = -5,\\\\ -4-2\cdot(-13) &=& -4+26 = 22,\\\\ 1-2\cdot3 &=& 1-6 = -5. \end{array}
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\[4pt] 0 & -16 & -10 & 44 & -7\\[4pt] 0 & -8 & -5 & 22 & -5 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora uso a segunda linha como pivô para eliminar o elemento abaixo dela na coluna y. Note que -8 na \text{L}_3 é exatamente metade de -16 em \text{L}_2. Então faço:
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \tfrac{1}{2}\text{L}_2.
Calculemos cada entrada da nova \text{L}_3:
\begin{array}{rcl} -8 - \tfrac{1}{2}\cdot(-16) &=& -8 +8 = 0,\\[4pt] -5 - \tfrac{1}{2}\cdot(-10) &=& -5 +5 = 0,\\[4pt] 22 - \tfrac{1}{2}\cdot44 &=& 22 -22 = 0,\\[4pt] -5 - \tfrac{1}{2}\cdot(-7) &=& -5 + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{10}{2} + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{3}{2}. \end{array}
Portanto a nova terceira linha é
\left[0\quad 0\quad 0\quad 0 \mid -\tfrac{3}{2}\right].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\[4pt] 0 & -16 & -10 & 44 & -7\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação da linha obtida: a terceira linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 0\cdot t = -\tfrac{3}{2},
ou seja \;0 = -\tfrac{3}{2}. Isso é uma contradição matemática clara (uma igualdade impossível). No método de Gauss-Jordan esse tipo de linha (todas entradas zero na parte dos coeficientes e termo independente não nulo) indica que o sistema é inconsistente — não há maneira de atribuir valores a x,y,z,t que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Passo 6

Explicando por que isso significa “sem solução”, de forma didática: o processo de eliminação não usou passos ilegítimos — só subtração de múltiplos de linhas. Quando se chega a uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq 0, significa que as equações originais implicam uma contradição. Em linguagem de teoria de sistemas lineares, o posto (rank) da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada; logo não há solução ao sistema. Não há nenhum valor de incógnitas que transforme 0 em -\tfrac{3}{2}.

Passo 7

Conclusão prática: não é necessário continuar a eliminação — o sistema é impossível. Posso reforçar com um comentário encorajador: é normal chegar a contradições quando há mais incógnitas que equações — às vezes dá solução com parâmetros, às vezes (como aqui) as equações se contradizem. Não se desanime — identificar inconsistencia é um resultado perfeitamente aceitável numa prova.

Resposta

Sistema inconsistente: não tem solução.

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