Informações relevantes: são três equações e quatro incógnitas x,y,z,t. A tarefa é aplicar Gauss-Jordan até identificar a solução (se existir) e então dizer se o sistema é possível determinado, possível indeterminado ou impossível.]
Passo 2
Vou escrever o sistema na forma de matriz aumentada — isso organiza as contas e é o ponto de partida do Método de Gauss-Jordan. A matriz aumentada é
Explicando rápido (para não pular etapas): na matriz cada linha corresponde a uma equação e as colunas correspondem às incógnitas x,y,z,t e à coluna de termos independentes (lado direito). O objetivo do Gauss-Jordan é, por operações elementares de linha, transformar a parte esquerda numa forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida) para ler as soluções diretamente.]
Passo 3
Começo eliminando os elementos abaixo do pivô da primeira coluna. O pivô inicial é 1 na linha 1. Faço as operações:
Agora uso a segunda linha como pivô para eliminar o elemento abaixo dela na coluna y. Note que -8 na \text{L}_3 é exatamente metade de -16 em \text{L}_2. Então faço:
Interpretação da linha obtida: a terceira linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 0\cdot t = -\tfrac{3}{2},
ou seja \;0 = -\tfrac{3}{2}. Isso é uma contradição matemática clara (uma igualdade impossível). No método de Gauss-Jordan esse tipo de linha (todas entradas zero na parte dos coeficientes e termo independente não nulo) indica que o sistema é inconsistente — não há maneira de atribuir valores a x,y,z,t que satisfaçam todas as equações simultaneamente.
Passo 6
Explicando por que isso significa “sem solução”, de forma didática: o processo de eliminação não usou passos ilegítimos — só subtração de múltiplos de linhas. Quando se chega a uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid c] com c\neq 0, significa que as equações originais implicam uma contradição. Em linguagem de teoria de sistemas lineares, o posto (rank) da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada; logo não há solução ao sistema. Não há nenhum valor de incógnitas que transforme 0 em -\tfrac{3}{2}.
Passo 7
Conclusão prática: não é necessário continuar a eliminação — o sistema é impossível. Posso reforçar com um comentário encorajador: é normal chegar a contradições quando há mais incógnitas que equações — às vezes dá solução com parâmetros, às vezes (como aqui) as equações se contradizem. Não se desanime — identificar inconsistencia é um resultado perfeitamente aceitável numa prova.