Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(m)\left\{\begin{aligned}x+2 y+3 z & =-6 \\\\ 2 x-3 y-4 z & =15, \\\\ 3 x+4 y+5 z & =-8\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x+2y+3z=-6,\\[4pt] 2x-3y-4z=15,\\[4pt] 3x+4y+5z=-8. \end{cases}
Pede-se resolver o sistema (obter x,y,z) e classificá-lo (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível). Vou trabalhar com os coeficientes e o termo independente que aparecem nas três equações acima.]

Passo 2

Transformamos o sistema numa matriz aumentada para aplicar operações elementares sobre linhas (essas operações preservam o conjunto de soluções):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 2 & -3 & -4 & 15\\[4pt] 3 & 4 & 5 & -8 \end{array}\right].
Lembrete rápido sobre operações elementares permitidas (são as que usaremos):
  • trocar duas linhas entre si;
  • multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    O objetivo do método é obter uma matriz em forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida), com pivôs (1s) e zeros acima e abaixo desses pivôs, de modo que cada variável apareça isolada.]

Passo 3

Primeiro pivot já é 1 na posição (1,1). Eliminar as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando combinações lineares:
Aplicar
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos linha a linha:
  • Para R_2: [2,\,-3,\,-4\,|\,15] - 2\cdot[1,\,2,\,3\,|\,-6] = [0,\,-7,\,-10\,|\,27].
  • Para R_3: [3,\,4,\,5\,|\,-8] - 3\cdot[1,\,2,\,3\,|\,-6] = [0,\,-2,\,-4\,|\,10].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 0 & -7 & -10 & 27\\[4pt] 0 & -2 & -4 & 10 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora trabalhamos na segunda coluna. Vamos primeiro obter o pivô na posição (2,2) igual a 1. Para isso dividimos a segunda linha por -7:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-7}R_2.
Cálculo:
[0,\,-7,\,-10\,|\,27] \cdot \frac{1}{-7} = [0,\,1,\,10/7\,|\,-27/7].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\[4pt] 0 & 1 & 10/7 & -27/7\\[4pt] 0 & -2 & -4 & 10 \end{array}\right].]

Passo 5

Com o pivô 1 em (2,2) eliminamos as outras entradas na coluna 2 (acima e abaixo do pivô). Aplicamos:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2, \qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
Cálculos detalhados:
  • R_1: [1,\,2,\,3\,|\,-6] - 2\cdot[0,\,1,\,10/7\,|\,-27/7]
= [1,\,0,\,3 - 20/7\,|\,-6 + 54/7] = [1,\,0,\,1/7\,|\,12/7].
(Observe: 3 = 21/7, então 21/7 - 20/7 = 1/7. E -6 = -42/7, então -42/7 + 54/7 = 12/7.)
  • R_3: [0,\,-2,\,-4\,|\,10] + 2\cdot[0,\,1,\,10/7\,|\,-27/7]
= [0,\,0,\,-4 + 20/7\,|\,10 - 54/7] = [0,\,0,\,-8/7\,|\,16/7].
(Observe: -4 = -28/7, então -28/7 + 20/7 = -8/7. E 10 = 70/7, então 70/7 - 54/7 = 16/7.)
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1/7 & 12/7\\[4pt] 0 & 1 & 10/7 & -27/7\\[4pt] 0 & 0 & -8/7 & 16/7 \end{array}\right].]

Passo 6

Restando apenas a terceira coluna a resolver, o elemento na posição (3,3) é -8/7. Tornamos esse pivô igual a 1 multiplicando a terceira linha por -7/8:
R_3 \leftarrow \left(-\frac{7}{8}\right)R_3.
Cálculo:
[0,\,0,\,-8/7\,|\,16/7]\cdot\left(-\frac{7}{8}\right) = [0,\,0,\,1\,|\,-2].
Pois (16/7)\cdot(-7/8) = -16/8 = -2.
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1/7 & 12/7\\[4pt] 0 & 1 & 10/7 & -27/7\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 7

Por fim, eliminamos os valores acima do pivô da terceira coluna para obter a forma reduzida. Aplicamos:
R_1 \leftarrow R_1 - \frac{1}{7}R_3, \qquad R_2 \leftarrow R_2 - \frac{10}{7}R_3.
Cálculos:
  • R_1: [1,\,0,\,1/7\,|\,12/7] - (1/7)\cdot[0,\,0,\,1\,|\,-2]
= [1,\,0,\,0\,|\,12/7 + 2/7] = [1,\,0,\,0\,|\,14/7] = [1,\,0,\,0\,|\,2].
  • R_2: [0,\,1,\,10/7\,|\,-27/7] - (10/7)\cdot[0,\,0,\,1\,|\,-2]
= [0,\,1,\,0\,|\,-27/7 + 20/7] = [0,\,1,\,0\,|\,-7/7] = [0,\,1,\,0\,|\,-1].
A matriz na forma reduzida por linhas é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].]

Passo 8

Lendo a matriz reduzida, obtemos as soluções diretamente:
x=2,\qquad y=-1,\qquad z=-2.
Como chegámos a uma única tripla (x,y,z), o sistema possui exatamente uma solução.

Resposta

x=2,\; y=-1,\; z=-2
Sistema compatível determinado.

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