Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. (m)\left\{\begin{aligned}x+2 y+3 z & =-6 \\\\ 2 x-3 y-4 z & =15, \\\\ 3 x+4 y+5 z & =-8\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de três equações e três incógnitas:
Pede-se resolver o sistema (obter x,y,z) e classificá-lo (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível). Vou trabalhar com os coeficientes e o termo independente que aparecem nas três equações acima.]
Passo 2
Transformamos o sistema numa matriz aumentada para aplicar operações elementares sobre linhas (essas operações preservam o conjunto de soluções):
Lembrete rápido sobre operações elementares permitidas (são as que usaremos):
trocar duas linhas entre si;
multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
O objetivo do método é obter uma matriz em forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida), com pivôs (1s) e zeros acima e abaixo desses pivôs, de modo que cada variável apareça isolada.]
Passo 3
Primeiro pivot já é 1 na posição (1,1). Eliminar as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando combinações lineares:
Aplicar
Restando apenas a terceira coluna a resolver, o elemento na posição (3,3) é -8/7. Tornamos esse pivô igual a 1 multiplicando a terceira linha por -7/8:
R_3 \leftarrow \left(-\frac{7}{8}\right)R_3.
Cálculo: [0,\,0,\,-8/7\,|\,16/7]\cdot\left(-\frac{7}{8}\right) = [0,\,0,\,1\,|\,-2].
Pois (16/7)\cdot(-7/8) = -16/8 = -2.