Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
\text{(c)}\left\{\begin{array}{rl}8 x+12 y-4 z= & -36 \\\\ 6 x+5 y+7 z= & 11 \\\\ 2 x+y+6 z= & 16\end{array}\right.,

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sistema
\text{(c)}\left\{\begin{array}{rl} 8x+12y-4z= & -36\\[4pt] 6x+5y+7z= & 11\\[4pt] 2x+y+6z= & 16 \end{array}\right.
na forma matricial. As informações que temos são as três equações lineares acima, com as incógnitas x, y e z e os termos independentes -36, 11 e 16.]

Passo 2

Explicando o que significa “forma matricial” de um sistema linear: é escrever o sistema como
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde:
  • A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação e cada coluna a uma variável),
  • \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas,
  • \mathbf{b} é o vetor coluna dos termos independentes (lado direito).
Essa representação é útil porque resume todas as equações num produto de matriz por vetor.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes de cada equação na ordem das variáveis x, y, z:
  • Da primeira equação 8x+12y-4z=-36 extraímos os coeficientes \,8,\;12,\;-4 e o termo independente -36.
  • Da segunda equação 6x+5y+7z=11 extraímos os coeficientes \,6,\;5,\;7 e o termo independente 11.
  • Da terceira equação 2x+y+6z=16 extraímos os coeficientes \,2,\;1,\;6 e o termo independente 16.
(Estou pegando esses números diretamente das equações fornecidas no enunciado.)

Passo 4

Formamos a matriz dos coeficientes A colocando cada conjunto de coeficientes em uma linha, respeitando a ordem x,y,z:
A=\begin{pmatrix} 8 & 12 & -4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}.
Aqui, a primeira linha \,(8\\\ 12\\\ -4)\, vem da primeira equação, a segunda linha \,(6\\\ 5\\\ 7)\, da segunda, e a terceira \,(2\\\ 1\\\ 6)\, da terceira.]

Passo 5

O vetor coluna das incógnitas é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},
e o vetor coluna dos termos independentes é
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-36\\[4pt]11\\[4pt]16\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora escrevemos o sistema completo na forma matricial, juntando A, \mathbf{x} e \mathbf{b}:
A\mathbf{x}=\mathbf{b}, \qquad\text{ou explicitamente}\qquad \begin{pmatrix} 8 & 12 & -4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 2 & 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36\\[4pt]11\\[4pt]16\end{pmatrix}.]

Passo 7

Para reforçar como isso corresponde às equações originais, observe o produto da primeira linha de A pelo vetor \mathbf{x}:
8\cdot x + 12\cdot y + (-4)\cdot z = -36,
que é exatamente a primeira equação do sistema. O mesmo vale para as outras linhas.

Resposta

\begin{pmatrix} 8 & 12 & -4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 2 & 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36\\[4pt]11\\[4pt]16\end{pmatrix}]

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