Dados relevantes: coeficientes e termos independentes (todos termos independentes são [0)). O pedido: resolver (encontrar todas as soluções) e classificar (se é possível único, infinitas soluções ou impossível).
Dados relevantes: coeficientes e termos independentes ((1,0,4)]. O pedido: resolver (encontrar as soluções) e classificar.
A partir do próximo passo começo a aplicar o Método de Gauss-Jordan (montar matriz aumentada, aplicar operações elementares para obter a forma reduzida por linhas) em cada sistema passo a passo.]
Passo 2
Breve aula rápida sobre o Método de Gauss-Jordan (pra ficar tranquilo na prova):
Representamos o sistema por sua matriz aumentada: cada linha é uma equação, cada coluna é uma variável, e a última coluna são os termos independentes.
Operações elementares permitidas sobre linhas: (1) trocar duas linhas, (2) multiplicar uma linha por um número não nulo, (3) somar a um linha um múltiplo de outra linha. Essas operações preservam o conjunto de soluções.
O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada variável básica tem um pivô 1 numa coluna e zeros em toda a coluna. A partir dessa forma lemos as equações finais e identificamos variáveis básicas e livres.
Variáveis livres correspondem a colunas sem pivô; atribuímos parâmetros e escrevemos a solução geral em termos desses parâmetros.
Agora aplico isso passo a passo ao Sistema 1.
Passo 3
Começamos o Sistema 1. Ordeno as incógnitas como x,y,z,w,t. Montamos a matriz aumentada (coluna à direita é o vetor de termos independentes, todos zeros aqui):
Explico: cada linha corresponde a uma equação; por exemplo a primeira linha \,(1,2,-1,1,0\mid0)\, representa \,1\cdot x+2\cdot y-1\cdot z+1\cdot w+0\cdot t=0.]
Passo 4
Vamos usar a primeira linha como pivô na coluna de x. Aplicamos operações para zerar abaixo do pivô:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1 (elimina o -1 em R_2 na coluna x),
R_3 \leftarrow R_3 - R_1 (elimina o 1 em R_3 na coluna x).
Ou em forma vetorial ((x,y,z,w,t)=s(0,-1,-1,1,0)].
Classificação: há infinitas soluções (sistema compatível indeterminado) porque existem menos equações independentes que incógnitas e não apareceu contradição.]
Passo 9
Agora aplico o mesmo procedimento ao sistema (f). Ordeno as incógnitas como x,y,z,t e monto a matriz aumentada:
Interpreto a forma reduzida final como um sistema de equações (cada linha é uma equação):
\begin{aligned} x - \tfrac{13}{5}t &= \tfrac{21}{5},\\[4pt] y + \tfrac{33}{10}t &= -\tfrac{41}{10},\\[4pt] z - \tfrac{1}{10}t &= -\tfrac{3}{10}. \end{aligned}
A coluna de t não tem pivô, logo t é variável livre. Chamo t=s, com s\in\mathbb{R}.
Isolando as variáveis básicas em função de s:
\begin{aligned} x &= \tfrac{21}{5} + \tfrac{13}{5}s,\\[4pt] y &= -\tfrac{41}{10} - \tfrac{33}{10}s,\\[4pt] z &= -\tfrac{3}{10} + \tfrac{1}{10}s,\\[4pt] t &= s. \end{aligned}
Não houve linha contraditória do tipo (0\,0\,0\,0\mid c) com c\neq0, portanto o sistema é compatível. Como há uma variável livre (t), temos infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).]
Resposta
Sistema 1: (x,y,z,w,t)=(0,-s,-s,s,0),\\ s\in\mathbb{R}. Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
Sistema (f): (x,y,z,t)=\Big(\tfrac{21}{5},-\tfrac{41}{10},-\tfrac{3}{10},0\Big) + s\Big(\tfrac{13}{5},-\tfrac{33}{10},\tfrac{1}{10},1\Big),\\ s\in\mathbb{R}. Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).