Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+y-3 z+t & =1 \\\\ 3 x+3 y+z+2 t & =0, \\\\ 2 x+y+z-2 t & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo. O sistema é:
\begin{cases} x+y-3z+t=1,\\[4pt] 3x+3y+z+2t=0,\\[4pt] 2x+y+z-2t=4. \end{cases}
Informações dadas: são três equações lineares com quatro incógnitas x,y,z,t. Queremos todas as soluções (se existirem) e a classificação do sistema (inconsistente, única ou infinitas soluções).]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz associada às incógnitas x,y,z,t com o termo independente à direita fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -2 & 4 \end{array}\right].
Explicação rápida do que significa: cada linha corresponde a uma equação; as colunas, às variáveis x,y,z,t; a última coluna é o resultado (termo independente). O objetivo do Método de Gauss–Jordan é aplicar operações elementares em linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma escalonada reduzida (RREF), onde se lê a solução diretamente.]

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar os elementos abaixo na coluna de x.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2-3R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-2R_1.
Cálculos linha a linha:
Para R_2: [3,3,1,2|0]-3[1,1,-3,1|1]=[0,0,10,-1|-3].
Para R_3: [2,1,1,-2|4]-2[1,1,-3,1|1]=[0,-1,7,-4|2].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 10 & -1 & -3\\[4pt] 0 & -1 & 7 & -4 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Queremos um pivô na coluna de y. Como R_2 tem zero nessa coluna e R_3 tem -1, trocamos R_2 e R_3:
R_2\leftrightarrow R_3.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 7 & -4 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 10 & -1 & -3 \end{array}\right].
Agora escalonamos o pivô de R_2 para 1 multiplicando por -1:
R_2\leftarrow -R_2 \implies R_2=[0,1,-7,4|-2].]

Passo 5

Eliminamos o y da primeira linha usando R_1\leftarrow R_1-R_2:
Cálculo:
[1,1,-3,1|1]-[0,1,-7,4|-2]=[1,0,4,-3|3].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 4 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -7 & 4 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 10 & -1 & -3 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora usamos R_3 para o pivô na coluna de z. Normalizamos R_3 dividindo por 10:
R_3\leftarrow \tfrac{1}{10}R_3 = [0,0,1,-\tfrac{1}{10}|-\tfrac{3}{10}].
Explicação: ter um 1 como pivô facilita a eliminação das outras entradas na mesma coluna.

Passo 7

Eliminamos a coluna de z acima do pivô (em R_1 e R_2):
Operações:
R_1\leftarrow R_1-4R_3,\qquad R_2\leftarrow R_2+7R_3.
Cálculos detalhados:
Para R_1:
[1,0,4,-3|3]-4[0,0,1,-\tfrac{1}{10}|-\tfrac{3}{10}] =[1,0,0,-3-4(-\tfrac{1}{10})\;|\;3-4(-\tfrac{3}{10})].
Calculemos os termos envolvendo t e o termo independente:
-3-4\Big(-\tfrac{1}{10}\Big) = -3+\tfrac{4}{10} = -3+\tfrac{2}{5} = -\tfrac{15}{5}+\tfrac{2}{5} = -\tfrac{13}{5},
3-4\Big(-\tfrac{3}{10}\Big) = 3+\tfrac{12}{10} = 3+\tfrac{6}{5} = \tfrac{15}{5}+\tfrac{6}{5}=\tfrac{21}{5}.
Logo R_1=[1,0,0,-\tfrac{13}{5}|\tfrac{21}{5}].
Para R_2:
[0,1,-7,4|-2]+7[0,0,1,-\tfrac{1}{10}|-\tfrac{3}{10}] =[0,1,0,4+7(-\tfrac{1}{10})|\;-2+7(-\tfrac{3}{10})].
Calculemos:
4+7\Big(-\tfrac{1}{10}\Big)=4-\tfrac{7}{10}=\tfrac{40}{10}-\tfrac{7}{10}=\tfrac{33}{10},
-2+7\Big(-\tfrac{3}{10}\Big)=-2-\tfrac{21}{10}=-\tfrac{20}{10}-\tfrac{21}{10}=-\tfrac{41}{10}.
Logo R_2=[0,1,0,\tfrac{33}{10}|-\tfrac{41}{10}].
A matriz em forma reduzida (RREF) é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{13}{5} & \tfrac{21}{5}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{33}{10} & -\tfrac{41}{10}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{10} & -\tfrac{3}{10} \end{array}\right].]

Passo 8

Agora lemos as equações correspondentes às linhas finais:
Da primeira linha:
x - \tfrac{13}{5}t = \tfrac{21}{5}.
Da segunda:
y + \tfrac{33}{10}t = -\tfrac{41}{10}.
Da terceira:
z - \tfrac{1}{10}t = -\tfrac{3}{10}.
Explicação: na forma reduzida, as colunas de x,y,z têm pivôs (1s), e a coluna de t não tem pivô — isso indica que t é variável livre. É comum parametrizar a variável livre: chame t=s (parâmetro real).
Isolando cada variável em função de s:
Para x:
x=\tfrac{21}{5}+\tfrac{13}{5}s.
Para y:
y=-\tfrac{41}{10}-\tfrac{33}{10}s.
Para z:
z=-\tfrac{3}{10}+\tfrac{1}{10}s.
E t=s, com s\in\mathbb{R}.
Classificação: temos uma família infinita de soluções (um parâmetro livre), portanto o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções). Outra forma de ver: o posto da matriz dos coeficientes é 3 (há 3 pivôs) e o número de incógnitas é 4, logo posto < número de incógnitas e sistema compatível.

Resposta

x=\dfrac{21}{5}+\dfrac{13}{5}s,\quad y=-\dfrac{41}{10}-\dfrac{33}{10}s,\quad z=-\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}s,\quad t=s,\; s\in\mathbb{R}.
Compatível indeterminado (infinitas soluções).

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