Informações dadas: são três equações lineares com quatro incógnitas x,y,z,t. Queremos todas as soluções (se existirem) e a classificação do sistema (inconsistente, única ou infinitas soluções).]
Passo 2
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz associada às incógnitas x,y,z,t com o termo independente à direita fica:
Explicação rápida do que significa: cada linha corresponde a uma equação; as colunas, às variáveis x,y,z,t; a última coluna é o resultado (termo independente). O objetivo do Método de Gauss–Jordan é aplicar operações elementares em linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma escalonada reduzida (RREF), onde se lê a solução diretamente.]
Passo 3
Usamos a primeira linha como pivô para zerar os elementos abaixo na coluna de x.
Operações:
Agora lemos as equações correspondentes às linhas finais:
Da primeira linha:
x - \tfrac{13}{5}t = \tfrac{21}{5}.
Da segunda:
y + \tfrac{33}{10}t = -\tfrac{41}{10}.
Da terceira:
z - \tfrac{1}{10}t = -\tfrac{3}{10}.
Explicação: na forma reduzida, as colunas de x,y,z têm pivôs (1s), e a coluna de t não tem pivô — isso indica que t é variável livre. É comum parametrizar a variável livre: chame t=s (parâmetro real).
Isolando cada variável em função de s:
Para x:
x=\tfrac{21}{5}+\tfrac{13}{5}s.
Para y:
y=-\tfrac{41}{10}-\tfrac{33}{10}s.
Para z:
z=-\tfrac{3}{10}+\tfrac{1}{10}s.
E t=s, com s\in\mathbb{R}.
Classificação: temos uma família infinita de soluções (um parâmetro livre), portanto o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções). Outra forma de ver: o posto da matriz dos coeficientes é 3 (há 3 pivôs) e o número de incógnitas é 4, logo posto < número de incógnitas e sistema compatível.