não tenha solução. Informações dadas que vamos usar: as três equações do sistema e que a,b são números reais desconhecidos.
Passo 2
Primeira ideia (explicação didática, passo a passo): um sistema linear 3×3 pode ter solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Uma maneira prática de decidir é:
Se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, então a matriz é invertível e o sistema tem solução única (logo não é o caso “nenhuma solução”).
Se a matriz dos coeficientes tem determinante zero, a matriz é singular e então ou o sistema tem infinitas soluções ou não tem solução — para decidir entre esses dois casos precisamos comparar a consistência do sistema, ou seja, comparar a rank da matriz dos coeficientes com a rank da matriz aumentada. Se a rank da aumentada for maior que a rank dos coeficientes, o sistema é inconsistente e não tem solução.
Vou aplicar esse procedimento: primeiro calculemos o determinante da matriz dos coeficientes; se ele for zero, investigamos a consistência usando eliminação por linhas.
Condição para a matriz ser singular (possível falta de solução) é \det(A)=0. Assim:
2-5a=0 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2}{5}.
Conclusão parcial: somente quando a=\frac{2}{5} o sistema pode deixar de ter solução única. Se a\neq\frac{2}{5} então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única (portanto não é o caso “nenhuma solução”).
Passo 5
Agora estudar a consistência para a=\dfrac{2}{5}. Substituímos a=\dfrac{2}{5} no sistema e montamos a matriz aumentada:
Agora examinamos as duas últimas linhas como sistemas em y,z. Da segunda linha temos
-y+5z=b.
Da terceira linha (multiplicando por 5 para evitar frações) obtemos
-3y+15z=0.
Observa que a terceira equação é exatamente 3 vezes a segunda equação se e somente se o lado direito também obedecer essa múltiplicidade. Multiplicando a segunda equação por 3 obtemos
-3y+15z=3b.
Comparando com a terceira equação -3y+15z=0, a única forma de ambas serem verdadeiras simultaneamente é ter 3b=0, ou seja b=0.
Se b=0 então as duas equações são a mesma e o sistema tem infinitas soluções (rank da matriz dos coeficientes = rank da aumentada = 2 < 3).
Se b\neq 0 então as duas equações contradizem-se (-3y+15z não pode ser simultaneamente 0 e 3b\neq0), o que significa que a matriz aumentada tem rank maior que a matriz dos coeficientes e o sistema é inconsistente — isto é, não tem solução.
Em termos de ranks: para a=\dfrac{2}{5} a matriz dos coeficientes tem rank 2; se b\neq0 a matriz aumentada tem rank 3 ou pelo menos maior que 2, gerando inconsistência.
Passo 7
Resumo e interpretação final (método que você pode usar na prova): calcule o determinante da matriz de coeficientes; se não for zero, o sistema tem solução única. Se der zero, escolha esse valor de parâmetro e faça eliminação de Gauss na matriz aumentada; se surgir uma linha do tipo (0\\\ 0\\\ 0 \mid c) com c\neq0, então o sistema não tem solução. Aqui exatamente isso aconteceu para a=\dfrac{2}{5} quando b\neq0.
Fica a dica amiga: na prova faça primeiro o determinante — isso reduz os casos — e só então vá para a matriz aumentada. Você já ganhou tempo.