Uma bolinha move-se no plano e a sua trajetória em função do tempo ( t em segundos) é descrita pela função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(t^{3},-t^{3} / 3\right). Determine:
a) A velocidade média e a aceleração média entre os instantes t=0 \mathrm{~s} e t=1 \mathrm{~s}.
b) A velocidade instantânea da bolinha em função do tempo.
c) O instante de tempo em que a bolinha alcança a altura máxima.
d) A altura máxima alcançada ( \left(y_{\text {max }}\right)).
e) O instante de tempo em que a bolinha bate no solo (solo quer dizer y=0) e em que posição isso acontece.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória da bolinha no plano como a função vetorial \boldsymbol{r}(t)=\left(t^{3},-\dfrac{t^{3}}{3}\right), com t em segundos. As perguntas são:
a) Calcular a velocidade média e a aceleração média entre t=0\\ \text{s} e t=1\\ \text{s}.
b) Determinar a velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t).
c) Encontrar o instante em que a bolinha alcança a altura máxima (altura = coordenada y).
d) Calcular a altura máxima y_{\text{max}}.
e) Determinar o instante em que a bolinha bate no solo (solo = y=0) e em que posição isso acontece.
Informações relevantes que temos: a expressão de \boldsymbol{r}(t) nos dá as coordenadas x(t)=t^{3} e y(t)=-\dfrac{t^{3}}{3}. Tempo considerado normalmente é t\ge 0 (instantes a partir do início), então usaremos isso nas interpretações.

Passo 2

Velocidade média: vou lembrar a definição e aplicar passo a passo. Definição: a velocidade média no intervalo de tempo entre t=a e t=b é a variação do vetor posição dividida pelo intervalo de tempo; ou seja
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\boldsymbol{r}(b)-\boldsymbol{r}(a)}{b-a}.
Aqui a=0 e b=1. Primeiro calculo \boldsymbol{r}(1) e \boldsymbol{r}(0). Usando a fórmula dada:
\boldsymbol{r}(1)=\left(1^{3},-\frac{1^{3}}{3}\right)=\left(1,-\frac{1}{3}\right),
\boldsymbol{r}(0)=\left(0^{3},-\frac{0^{3}}{3}\right)=(0,0).
Agora a velocidade média:
\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\boldsymbol{r}(1)-\boldsymbol{r}(0)}{1-0}=\boldsymbol{r}(1)-\boldsymbol{r}(0)=\left(1,-\frac{1}{3}\right).
Interpretação: no intervalo de 0 a 1 s, o deslocamento foi (1,\,-\tfrac{1}{3}) (unidades de posição por segundo).

Passo 3

Agora vamos achar a velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t) (isso também é útil para a aceleração média). Conceito rápido: velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Se \boldsymbol{r}(t)=(x(t),y(t)), então
\boldsymbol{v}(t)=\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right).
Explico a ideia: derivar uma função é encontrar a taxa instantânea de variação — aqui, quanto x e y mudam por segundo em cada instante.
Aplicando a derivação em cada componente: x(t)=t^{3} tem derivada \dfrac{dx}{dt}=3t^{2}. Para y(t)=-\dfrac{t^{3}}{3}, derivando:
\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{3}\cdot 3t^{2}=-t^{2}.
Portanto a velocidade instantânea é
\boldsymbol{v}(t)=\left(3t^{2},-t^{2}\right).
Comentário prático: a componente x cresce como 3t^{2} e a componente y é sempre não positiva ( -t^{2}\le 0), então para t>0 a bolinha está se movendo para baixo em y.

Passo 4

Aceleração média: a definição é análoga à da velocidade média, mas aplicada à velocidade. A aceleração média entre t=a e t=b é
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\boldsymbol{v}(b)-\boldsymbol{v}(a)}{b-a}.
Usando a=0 e b=1 e a expressão de \boldsymbol{v}(t) do passo anterior:
\boldsymbol{v}(1)=\left(3\cdot 1^{2},-1^{2}\right)=(3,-1),
\boldsymbol{v}(0)=(0,0).
Logo
\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{(3,-1)-(0,0)}{1-0}=(3,-1).
Interpretação: a aceleração média no intervalo é o vetor (3,-1) (unidades de posição por segundo ao quadrado).

Passo 5

(Resposta do item b já dada no passo 3) — mas como pediram didaticamente: recapitulo a conclusão do item b) aqui de forma direta. A velocidade instantânea em função do tempo é
\boldsymbol{v}(t)=\left(3t^{2},-t^{2}\right).
Explicando: cada componente é a derivada da respectiva componente da posição; não tem mistério além disso.

Passo 6

Agora vamos achar quando a bolinha alcança a altura máxima (item c) e qual é essa altura (item d). Primeira observação: a altura é a coordenada y(t)=-\dfrac{t^{3}}{3}. Para achar extremos de y(t) estudamos sua derivada y'(t) (taxa de variação de altura). Já calculamos y'(t)=-t^{2} no passo 3. Condição para extremo: procurar t tal que y'(t)=0 ou ponto de fronteira do domínio de interesse.
Resolvendo y'(t)=0:
-t^{2}=0 \implies t^{2}=0 \implies t=0.
Agora precisamos ver se é máximo ou mínimo e qual é o comportamento em t\ge 0. Observação importante: para t>0 temos y'(t)=-t^{2}<0, ou seja, a função y(t) é estritamente decrescente para todo t>0. Portanto t=0 é um ponto onde a altura é maior que para qualquer t>0; é um máximo relativo e também máximo global no intervalo t\ge 0. (Se alguém considerasse tempos negativos, para t<0 temos y'(t)=-t^{2}<0 também, então y ainda decresce ao passar por t=0; portanto t=0 é o ponto mais alto no entorno e, para a interpretação usual de movimento a partir de t=0, é o máximo.) Conclusão:
  • Instante de altura máxima: t=0\\ \text{s}.

Passo 7

Altura máxima (item d): basta avaliar y(t) em t=0. Usando a expressão de y(t):
y_{\text{max}}=y(0)=-\frac{0^{3}}{3}=0.
Interpretação: a bolinha começa no solo ( y=0) e depois desce (a coordenada y fica negativa para t>0), logo não há subida acima do solo depois de t=0.

Passo 8

Quando a bolinha bate no solo (item e)? Pergunta: achar t tal que y(t)=0. Usando y(t)=-\dfrac{t^{3}}{3}, resolvo
-\frac{t^{3}}{3}=0 \implies t^{3}=0 \implies t=0.
Portanto a única solução real é t=0. Isso significa que, para t>0, y(t)<0 (a bolinha fica abaixo do solo se interpretarmos valores negativos como abaixo). Conclusão: a bolinha está no solo apenas em t=0 (no início) e não retorna ao solo para t>0. A posição quando bate (ou está) no solo é
\boldsymbol{r}(0)=(0,0).

Resposta

a) Velocidade média \left(1,-\dfrac{1}{3}\right). Aceleração média (3,-1).
b) Velocidade instantânea \boldsymbol{v}(t)=\left(3t^{2},-t^{2}\right).
c) Instante de altura máxima: t=0\\ \text{s}.
d) Altura máxima: y_{\text{max}}=0.
e) A bolinha está no solo apenas em t=0\\ \text{s}; posição nesse instante \boldsymbol{r}(0)=(0,0).

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