Informações relevantes fornecidas: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. A tarefa é encontrar os valores de x,y,z que satisfazem todas as equações e dizer se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.]
Passo 2
Breve explicação do Método de Gauss-Jordan (aula rápida): o objetivo é transformar a matriz aumentada do sistema numa forma reduzida por linhas (RREF — Reduced Row Echelon Form), em que cada variável ficou isolada numa linha como um pivô 1 e todos os outros elementos na coluna do pivô são 0. Para isso usamos operações elementares de linhas:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações preservam o conjunto de soluções. Quando chegarmos à RREF, lemos a solução diretamente.
Passo 3
Formo a matriz aumentada do sistema (cada linha representa uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o lado direito):
Vou aplicar operações de linha de forma explícita e explicar cada escolha. Procuro inicialmente um pivô na primeira coluna; como já existe uma linha com coeficiente 1 na primeira coluna (a terceira linha), é conveniente colocá-la como primeira linha para facilitar os cálculos. Faço a troca:
Calculo cada nova linha:
Para R_2: 4-4\cdot1=0,\; 2-4(-1)=2+4=6,\; 2-4\cdot1=-2,\; 8-4\cdot4=8-16=-8.
Para R_3: 3-3\cdot1=0,\; 2-3(-1)=2+3=5,\; 1-3\cdot1=-2,\; 2-3\cdot4=2-12=-10.
Calculemos:
Para R_1: terceira entrada fica \tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot1=0. O lado direito: \tfrac{8}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot10=\tfrac{8}{3}-\tfrac{20}{3}=-\tfrac{12}{3}=-4.
Para R_2: terceira entrada -\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}\cdot1=0. O lado direito: -\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{3}\cdot10=-\tfrac{4}{3}+\tfrac{10}{3}=\tfrac{6}{3}=2.]
Daqui lemos diretamente a solução: \;x=-4,\;y=2,\;z=10. Como chegamos a uma solução única (há um pivô não nulo em cada coluna de variável), o sistema é classificado como “possível e determinado” (ou seja, tem exatamente uma solução). Outra maneira de ver isso: o posto da matriz dos coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas 3, e o sistema é consistente.]
Resposta
\;x=-4,\;y=2,\;z=10
Sistema possível e determinado (solução única).