Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y+z & =2 \\\\ 4 x+2 y+2 z & =8, \\\ x-y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o sistema linear e o classifique, usando o Método de Gauss-Jordan. As equações dadas são:
\begin{cases} 3x+2y+z=2,\\[4pt] 4x+2y+2z=8,\\[4pt] x-y+z=4. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. A tarefa é encontrar os valores de x,y,z que satisfazem todas as equações e dizer se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.]

Passo 2

Breve explicação do Método de Gauss-Jordan (aula rápida): o objetivo é transformar a matriz aumentada do sistema numa forma reduzida por linhas (RREF — Reduced Row Echelon Form), em que cada variável ficou isolada numa linha como um pivô 1 e todos os outros elementos na coluna do pivô são 0. Para isso usamos operações elementares de linhas:
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções. Quando chegarmos à RREF, lemos a solução diretamente.

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema (cada linha representa uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o lado direito):
\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 2\\[4pt] 4 & 2 & 2 & 8\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right)]

Passo 4

Vou aplicar operações de linha de forma explícita e explicar cada escolha. Procuro inicialmente um pivô na primeira coluna; como já existe uma linha com coeficiente 1 na primeira coluna (a terceira linha), é conveniente colocá-la como primeira linha para facilitar os cálculos. Faço a troca:
R_1 \longleftrightarrow R_3.

Passo 5

Matriz após a troca R_1\leftrightarrow R_3:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 4 & 2 & 2 & 8\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right)
Explicação: agora o pivô da primeira coluna é 1, o que facilita eliminar os outros elementos da coluna.]

Passo 6

Elimino os elementos abaixo do pivô da primeira coluna para obter zeros na coluna de x. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculo cada nova linha:
Para R_2: 4-4\cdot1=0,\; 2-4(-1)=2+4=6,\; 2-4\cdot1=-2,\; 8-4\cdot4=8-16=-8.
Para R_3: 3-3\cdot1=0,\; 2-3(-1)=2+3=5,\; 1-3\cdot1=-2,\; 2-3\cdot4=2-12=-10.

Passo 7

Matriz após as eliminações:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 6 & -2 & -8\\[4pt] 0 & 5 & -2 & -10 \end{array}\right)]

Passo 8

Agora trabalho na segunda coluna. Faço o pivô ser 1 dividindo a segunda linha por 6:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{6}R_2.
Resultado (computando frações): 0,\;1,\;-{\tfrac{1}{3}},\;-\tfrac{4}{3}.

Passo 9

A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 5 & -2 & -10 \end{array}\right)
Agora elimino os outros elementos na segunda coluna (acima e abaixo do pivô). Faço
R_1 \leftarrow R_1 + R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2.
Calculemos:
Para R_1: 1,\; -1+1=0,\; 1+(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{2}{3},\; 4+(-\tfrac{4}{3})=\tfrac{8}{3}.
Para R_3: 0,\;5-5\cdot1=0,\; -2-5(-\tfrac{1}{3})=-2+\tfrac{5}{3}=-\tfrac{1}{3},\; -10-5(-\tfrac{4}{3})=-10+\tfrac{20}{3}=-\tfrac{10}{3}.]

Passo 10

Matriz após essas operações:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{8}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{array}\right)]

Passo 11

Passo para a terceira coluna: o pivô na terceira linha é -\tfrac{1}{3}. Faço a linha ter pivô 1 multiplicando por -3:
R_3 \leftarrow -3R_3.
Cálculo: -3)\cdot(-\tfrac{1}{3})=1 e (-3)\cdot(-\tfrac{10}{3})=10.

Passo 12

A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{8}{3}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}\right)
Agora elimino os outros elementos na terceira coluna (acima do pivô) para chegar à forma reduzida: faço
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{2}{3}R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{3}R_3.
Calculemos:
Para R_1: terceira entrada fica \tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot1=0. O lado direito: \tfrac{8}{3}-\tfrac{2}{3}\cdot10=\tfrac{8}{3}-\tfrac{20}{3}=-\tfrac{12}{3}=-4.
Para R_2: terceira entrada -\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}\cdot1=0. O lado direito: -\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{3}\cdot10=-\tfrac{4}{3}+\tfrac{10}{3}=\tfrac{6}{3}=2.]

Passo 13

Obtive a forma reduzida por linhas:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}\right)
Daqui lemos diretamente a solução: \;x=-4,\;y=2,\;z=10. Como chegamos a uma solução única (há um pivô não nulo em cada coluna de variável), o sistema é classificado como “possível e determinado” (ou seja, tem exatamente uma solução). Outra maneira de ver isso: o posto da matriz dos coeficientes é 3, igual ao número de incógnitas 3, e o sistema é consistente.]

Resposta

\;x=-4,\;y=2,\;z=10
Sistema possível e determinado (solução única).

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