Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} 2 x+3 y & =13 \\\ x-2 y & =3, \\\\ 5 x+2 y & =27\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três equações e duas incógnitas e pede para resolvê-lo pelo Método de Gauss–Jordan e classificá-lo. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2x+3y=13,\\[4pt] x-2y=3,\\[4pt] 5x+2y=27. \end{cases}
Informações relevantes: são três equações sobre as incógnitas x e y. Precisamos aplicar Gauss–Jordan ao sistema ampliado (matriz aumentada) para obter a forma reduzida e daí ler a solução e a classificação do sistema.]

Passo 2

O que é o Método de Gauss–Jordan (explicação didática): Gauss–Jordan transforma a matriz aumentada do sistema numa forma reduzida por linhas (chamada forma reduzida por linhas escalonada), usando apenas três tipos de operações elementares nas linhas:
  1. trocar duas linhas,
  2. multiplicar uma linha por um número diferente de zero,
  3. somar à uma linha um múltiplo de outra linha.
Objetivo prático: obter uma matriz com pivôs (1s) em colunas das incógnitas e zeros em todas as outras entradas daquelas colunas; assim lemos diretamente as soluções. Se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\ |\\ c] com c\neq 0, o sistema é inconsistente. Se houver menos pivôs do que incógnitas e nenhuma inconsistência, o sistema tem infinitas soluções. Se houver pivôs em todas as colunas das incógnitas, há solução única.

Passo 3

Formamos a matriz aumentada do sistema. Colocamos as colunas das incógnitas x,y e a coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 13\\[4pt] 1 & -2 & 3\\[4pt] 5 & 2 & 27 \end{array}\right].
Vou aplicar operações linha a linha para levar essa matriz à forma reduzida por linhas.]

Passo 4

Primeiro facilitamos um pivô 1 trocando a linha 1 com a linha 2 (operação do tipo trocar linhas). Isso porque a linha 2 já tem um 1 na primeira coluna:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 13\\[4pt] 5 & 2 & 27 \end{array}\right].
Explicação: trocar linhas não altera o conjunto solução, só muda a ordem das equações.]

Passo 5

Agora vamos zerar as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna (eliminar x nas linhas 2 e 3). Fazemos:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
Calculemos:
Para R_2: [2,3,13] - 2\cdot[1,-2,3] = [2-2,\,3-2(-2),\,13-2\cdot3] = [0,\,3+4,\,13-6] = [0,7,7].
Para R_3: [5,2,27] - 5\cdot[1,-2,3] = [5-5,\,2-5(-2),\,27-5\cdot3] = [0,\,2+10,\,27-15] = [0,12,12].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 7 & 7\\[4pt] 0 & 12 & 12 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora escolhemos o pivô na segunda coluna (linha 2). A entrada é 7. Para ter um pivô 1, dividimos a linha 2 por 7: R_2 \leftarrow \frac{1}{7}R_2. Isso dá:
R_2 = [0,1,1].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 12 & 12 \end{array}\right].
Explicação: ter pivôs 1 facilita a eliminação nas outras linhas e a leitura direta da solução.]

Passo 7

Eliminamos agora todas as entradas na coluna do pivô y (segunda coluna), tanto abaixo quanto acima do pivô. Primeiro abaixo:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 12 R_2.
Calculemos R_3: [0,12,12] - 12\cdot[0,1,1] = [0,\,12-12,\,12-12] = [0,0,0].
Agora acima:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2 R_2 (pois R_1 tem -2 na segunda coluna).
Calculemos R_1: [1,-2,3] + 2\cdot[0,1,1] = [1,\, -2+2,\,3+2] = [1,0,5].
A matriz reduzida por linhas fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Interpretação da matriz final: as duas primeiras linhas correspondem às equações
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y = 5,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y = 1, \end{cases}
ou seja
x=5,\qquad y=1.
A terceira linha é [0\\\ 0\\ |\\\ 0], que é uma identidade verdadeira e não adiciona nenhuma restrição (significa que a terceira equação original era linearmente dependente das outras duas).]

Passo 9

Classificação do sistema (explicação didática): temos pivôs nas duas colunas das incógnitas (duas linhas independentes) e nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\ |\\ c] com c\neq 0. Como o número de pivôs (2) é igual ao número de incógnitas (2), o sistema tem solução única. Em terminologia: o sistema é compatível determinado (SCD).

Resposta

(x,y)=(5,1)
Sistema compatível determinado (SCD) — solução única.

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