Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. \left\{\begin{aligned} 2 x+3 y & =13 \\\ x-2 y & =3, \\\\ 5 x+2 y & =27\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três equações e duas incógnitas e pede para resolvê-lo pelo Método de Gauss–Jordan e classificá-lo. As equações fornecidas são:
Informações relevantes: são três equações sobre as incógnitas x e y. Precisamos aplicar Gauss–Jordan ao sistema ampliado (matriz aumentada) para obter a forma reduzida e daí ler a solução e a classificação do sistema.]
Passo 2
O que é o Método de Gauss–Jordan (explicação didática): Gauss–Jordan transforma a matriz aumentada do sistema numa forma reduzida por linhas (chamada forma reduzida por linhas escalonada), usando apenas três tipos de operações elementares nas linhas:
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por um número diferente de zero,
somar à uma linha um múltiplo de outra linha.
Objetivo prático: obter uma matriz com pivôs (1s) em colunas das incógnitas e zeros em todas as outras entradas daquelas colunas; assim lemos diretamente as soluções. Se aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\ |\\ c] com c\neq 0, o sistema é inconsistente. Se houver menos pivôs do que incógnitas e nenhuma inconsistência, o sistema tem infinitas soluções. Se houver pivôs em todas as colunas das incógnitas, há solução única.
Passo 3
Formamos a matriz aumentada do sistema. Colocamos as colunas das incógnitas x,y e a coluna dos termos independentes:
Vou aplicar operações linha a linha para levar essa matriz à forma reduzida por linhas.]
Passo 4
Primeiro facilitamos um pivô 1 trocando a linha 1 com a linha 2 (operação do tipo trocar linhas). Isso porque a linha 2 já tem um 1 na primeira coluna:
Agora escolhemos o pivô na segunda coluna (linha 2). A entrada é 7. Para ter um pivô 1, dividimos a linha 2 por 7: R_2 \leftarrow \frac{1}{7}R_2. Isso dá:
Interpretação da matriz final: as duas primeiras linhas correspondem às equações
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y = 5,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y = 1, \end{cases}
ou seja
x=5,\qquad y=1.
A terceira linha é [0\\\ 0\\ |\\\ 0], que é uma identidade verdadeira e não adiciona nenhuma restrição (significa que a terceira equação original era linearmente dependente das outras duas).]
Passo 9
Classificação do sistema (explicação didática): temos pivôs nas duas colunas das incógnitas (duas linhas independentes) e nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\ |\\ c] com c\neq 0. Como o número de pivôs (2) é igual ao número de incógnitas (2), o sistema tem solução única. Em terminologia: o sistema é compatível determinado (SCD).
Resposta
(x,y)=(5,1)
Sistema compatível determinado (SCD) — solução única.