Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com cinco equações e três incógnitas e pede para resolvê‑lo pelo Método de Gauss–Jordan e classificá‑lo. As equações fornecidas são:
\begin{aligned} 3x+2y-4z&=1,\\\ x-y+z&=3,\\\ x-y-3z&=-3,\\\\ 3x+3y-5z&=0,\\\\ -x+y+z&=1. \end{aligned}
Informações relevantes:
  • Temos 5 equações e 3 incógnitas \;x,y,z.
  • A tarefa é aplicar Gauss–Jordan (ou seja, reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas) e verificar se existe solução e, em caso afirmativo, encontrá‑la; caso contrário, classificar o sistema (incompatível / possível determinado / possível indeterminado).

Passo 2

Vamos construir a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de \,x,y,z e a última coluna é o lado direito):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
No Gauss–Jordan escolhemos pivôs de coluna em coluna e aplicamos operações elementares por linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma reduzida por linhas.]

Passo 3

Escolho como pivô inicial a linha com coeficiente 1 em x (mais simples). Faço a troca \,R_1 \leftrightarrow R_2 para colocar essa linha no topo:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 2 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 3 & 3 & -5 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Anulo as entradas da coluna x nas outras linhas usando R_1 como pivô:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
R_2: \;[3,2,-4,1] - 3\cdot[1,-1,1,3] = [0,5,-7,-8].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 1R_1:
R_3: \;[1,-1,-3,-3] - [1,-1,1,3] = [0,0,-4,-6].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1:
R_4: \;[3,3,-5,0] - 3\cdot[1,-1,1,3] = [0,6,-8,-9].
  • R_5 \leftarrow R_5 + 1R_1 (porque R_5 tem -1 em x):
R_5: \;[-1,1,1,1] + [1,-1,1,3] = [0,0,2,4].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 5 & -7 & -8\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 6 & -8 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora pivotamos na coluna y. A linha R_2 tem coeficiente 5 em y; transformo esse pivô em 1 dividindo R_2 por 5:
R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2 = [0,1,-\tfrac{7}{5},-\tfrac{8}{5}].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 6 & -8 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 6

Elimino as outras entradas da coluna y usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_2 (porque R_1 tem -1 em y):
R_1: \;[1,-1,1,3] + [0,1,-\tfrac{7}{5},-\tfrac{8}{5}] = [1,0,-\tfrac{2}{5},\tfrac{7}{5}].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 6R_2 (porque R_4 tem 6 em y):
R_4: \;[0,6,-8,-9] -6\cdot[0,1,-\tfrac{7}{5},-\tfrac{8}{5}] = [0,0, -8 + \tfrac{42}{5}, -9 + \tfrac{48}{5}] = [0,0,\tfrac{2}{5},\tfrac{3}{5}].
As linhas R_3 e R_5 já têm 0 em y. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora pivotamos na coluna z. A linha R_3 tem coeficiente -4 em z; transformo esse pivô em 1 dividindo R_3 por -4:
R_3 \leftarrow \frac{1}{-4}R_3 = [0,0,1,\tfrac{3}{2}].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{5} & \tfrac{7}{5}\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{8}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{3}{5}\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 8

Elimino as outras entradas da coluna z usando R_3:
  • Para R_1 (tem -\tfrac{2}{5} em z): R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{2}{5}R_3.
    Cálculo do lado direito: \tfrac{7}{5} + \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{7}{5} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{10}{5}=2.
    Logo R_1=[1,0,0,2].
  • Para R_2 (tem -\tfrac{7}{5} em z): R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{7}{5}R_3.
    Cálculo do lado direito: -\tfrac{8}{5} + \tfrac{7}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = -\tfrac{8}{5} + \tfrac{21}{10} = -\tfrac{16}{10} + \tfrac{21}{10} = \tfrac{5}{10} = \tfrac{1}{2}.
    Logo R_2=[0,1,0,\tfrac{1}{2}].
  • Para R_4 (tem \tfrac{2}{5} em z): R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{2}{5}R_3.
    Cálculo do lado direito: \tfrac{3}{5} - \tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{3}{5} = 0.
    Logo R_4=[0,0,0,0].
  • Para R_5 (tem 2 em z): R_5 \leftarrow R_5 - 2R_3.
    Cálculo do lado direito: 4 - 2\cdot\tfrac{3}{2} = 4 - 3 = 1.
    Logo R_5=[0,0,0,1].
Depois dessas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 9

A última linha agora é [0\\\ 0\\\ 0 \mid 1], ou seja, a equação 0x+0y+0z=1, que é a contradição 0=1. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente. Em termos de teoria de matrizes, o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz dos coeficientes, portanto não há solução.

Resposta

Solução: não existe solução.
Classificação: sistema incompatível (inconsistente).

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