Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. \left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-4 z & =1 \\\ x-y+z & =3 \\\ x-y-3 z & =-3, \\\\ 3 x+3 y-5 z & =0 \\\\ -x+y+z & =1\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema com cinco equações e três incógnitas e pede para resolvê‑lo pelo Método de Gauss–Jordan e classificá‑lo. As equações fornecidas são:
A tarefa é aplicar Gauss–Jordan (ou seja, reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas) e verificar se existe solução e, em caso afirmativo, encontrá‑la; caso contrário, classificar o sistema (incompatível / possível determinado / possível indeterminado).
Passo 2
Vamos construir a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, as três primeiras colunas são os coeficientes de \,x,y,z e a última coluna é o lado direito):
No Gauss–Jordan escolhemos pivôs de coluna em coluna e aplicamos operações elementares por linhas (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter a forma reduzida por linhas.]
Passo 3
Escolho como pivô inicial a linha com coeficiente 1 em x (mais simples). Faço a troca \,R_1 \leftrightarrow R_2 para colocar essa linha no topo:
A última linha agora é [0\\\ 0\\\ 0 \mid 1], ou seja, a equação 0x+0y+0z=1, que é a contradição 0=1. Isso significa que o sistema é inconsistente: não existe nenhuma tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente. Em termos de teoria de matrizes, o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz dos coeficientes, portanto não há solução.
Resposta
Solução: não existe solução.
Classificação: sistema incompatível (inconsistente).