Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+3 y & =-4 \\\\ 2 x+5 y & =-8 \\\ x+3 y & =-5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema pelo Método de Gauss–Jordan e classificá‑lo. O sistema dado é:
\begin{cases} x+3y=-4\\[4pt] 2x+5y=-8\\[4pt] x+3y=-5 \end{cases}
Informações relevantes: são três equações lineares em duas incógnitas \,x e \,y. Devemos aplicar operações elementares sobre as linhas do sistema (Gauss–Jordan) até obter uma forma reduzida que nos permita decidir se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou é incompatível (sem solução).]

Passo 2

Transformo o sistema na sua matriz aumentada (cada linha é uma equação; a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -4\\[4pt] 2 & 5 & -8\\[4pt] 1 & 3 & -5 \end{array}\right]
Explicando o que cada entrada representa: a primeira coluna corresponde aos coeficientes de \,x, a segunda aos coeficientes de \,y e a terceira coluna é o termo independente (lado direito de cada equação).]

Passo 3

Breve explicação do Método de Gauss–Jordan (essa é a “aula” prática):
  • Objetivo: chegar à forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha não nula tem um 1 (pivô) e é o único elemento não nulo em sua coluna. Assim lemos diretamente as soluções.
  • Operações permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • Classificação pelo resultado:
    • Se surgir uma linha do tipo [0\;0\mid c] com c\neq0, isso significa 0= c (contradição) → sistema incompatível (sem solução).
    • Se não houver contradição e todas as variáveis tiverem pivôs → solução única.
    • Se não houver contradição e existirem colunas sem pivô (variáveis livres) → infinitas soluções.

Passo 4

Começo eliminando abaixo do pivô na primeira coluna (uso a primeira linha como pivô; já tem \,1 na posição (1,1)):
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos:
Para R_2: (2,5\mid -8) - 2\cdot(1,3\mid -4) = (2-2,\;5-6\mid -8 -(-8)) = (0,\;-1\mid 0).
Para R_3: (1,3\mid -5) - 1\cdot(1,3\mid -4) = (0,0\mid -1).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -4\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora trato a segunda linha para ter um pivô 1 na coluna 2. Faço R_2 \leftarrow -1\cdot R_2:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{array}\right]
Em seguida, aplicaríamos eliminação acima do pivô (por exemplo R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2) para prosseguir rumo à RREF. Faço isso por completude:
R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2 (1,3\mid -4) - 3\cdot(0,1\mid 0) = (1,0\mid -4).
A matriz torna‑se:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{array}\right]]

Passo 6

Observe a terceira linha: [0\;0\mid -1]. Essa linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y = -1,
ou seja \,0 = -1, que é uma contradição impossível. Isso indica, pelo critério explicado, que o sistema é incompatível — não existe par (x,y) que satisfaça simultaneamente todas as equações (note que as equações 1 e 3 do enunciado já eram contraditórias, pois ambas têm x+3y no lado esquerdo mas constantes diferentes: -4 e -5).

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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