Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os. \left\{\begin{array}{rl}x+3 y & =-4 \\\\ 2 x+5 y & =-8 \\\ x+3 y & =-5\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema pelo Método de Gauss–Jordan e classificá‑lo. O sistema dado é:
Informações relevantes: são três equações lineares em duas incógnitas \,x e \,y. Devemos aplicar operações elementares sobre as linhas do sistema (Gauss–Jordan) até obter uma forma reduzida que nos permita decidir se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou é incompatível (sem solução).]
Passo 2
Transformo o sistema na sua matriz aumentada (cada linha é uma equação; a última coluna é o termo independente):
Explicando o que cada entrada representa: a primeira coluna corresponde aos coeficientes de \,x, a segunda aos coeficientes de \,y e a terceira coluna é o termo independente (lado direito de cada equação).]
Passo 3
Breve explicação do Método de Gauss–Jordan (essa é a “aula” prática):
Objetivo: chegar à forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha não nula tem um 1 (pivô) e é o único elemento não nulo em sua coluna. Assim lemos diretamente as soluções.
Operações permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Classificação pelo resultado:
Se surgir uma linha do tipo [0\;0\mid c] com c\neq0, isso significa 0= c (contradição) → sistema incompatível (sem solução).
Se não houver contradição e todas as variáveis tiverem pivôs → solução única.
Se não houver contradição e existirem colunas sem pivô (variáveis livres) → infinitas soluções.
Passo 4
Começo eliminando abaixo do pivô na primeira coluna (uso a primeira linha como pivô; já tem \,1 na posição (1,1)):
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos:
Em seguida, aplicaríamos eliminação acima do pivô (por exemplo R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2) para prosseguir rumo à RREF. Faço isso por completude: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2 dá (1,3\mid -4) - 3\cdot(0,1\mid 0) = (1,0\mid -4).
A matriz torna‑se:
Observe a terceira linha: [0\;0\mid -1]. Essa linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y = -1,
ou seja \,0 = -1, que é uma contradição impossível. Isso indica, pelo critério explicado, que o sistema é incompatível — não existe par (x,y) que satisfaça simultaneamente todas as equações (note que as equações 1 e 3 do enunciado já eram contraditórias, pois ambas têm x+3y no lado esquerdo mas constantes diferentes: -4 e -5).