Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-z & +w=0 \\\\ -x-y+2 z & -3 t+w=0 \\\ x+y-2 z & -w=0 \\\ z+t+w= & 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
\begin{cases} x+2y -z +w = 0,\\\\ -\,x -y +2z -3t +w = 0,\\\ x+y -2z -w = 0,\\\ \;z +t +w = 0 \end{cases}
pelo Método de Gauss–Jordan e depois classificá-lo (se é determinado, indeterminado ou impossível).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada cujas colunas correspondem às variáveis x,y,z,t,w e à direita o termo independente:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos o x em R_2 e R_3 usando R_2\leftarrow R_2+R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos o y em R_3 com R_3\leftarrow R_3+R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para pivotar em z, trocamos R_3 com R_4 e depois eliminamos z em R_1 e R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Normalizamos R_4 dividindo por -3 e eliminamos o t nas outras linhas:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 7

Essa é a forma reduzida: pivôs em x,y,z,t e a coluna de w sem pivô indica que w é variável livre. Chamemos
w = \lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 8

Lemos das linhas:
\begin{cases} x + 2y + 2w = 0 \implies x +2(-\lambda)+2\lambda=0\implies x=0,\\\ y + w = 0 \implies y=-\lambda,\\\ z + w = 0 \implies z=-\lambda,\\\ t = 0. \end{cases}
Logo a solução geral é
x=0,\quad y=-\lambda,\quad z=-\lambda,\quad t=0,\quad w=\lambda,\quad \lambda\in\mathbb{R}.
Existem infinitas soluções parametrizadas por \lambda, logo o sistema é indeterminado e consistente.

Resposta

\begin{cases} x=0,\\\ y=-\lambda,\\\ z=-\lambda,\\\ t=0,\\\ w=\lambda, \end{cases} \qquad \lambda\in\mathbb{R},
Sistema indeterminado (infinitas soluções).

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