Calcule as transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{3 \mathrm{~s}^{2}}{(\mathrm{~s}+1)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{3s^2}{(s+1)^2},
ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Vamos usar decomposição algébrica e as transformadas inversas básicas de Laplace.

Passo 2

Reescrevemos o numerador em termos de s+1:
s^2 = (s+1-1)^2 = (s+1)^2 -2(s+1) +1.
Então
\frac{3s^2}{(s+1)^2} =3\;\frac{(s+1)^2 -2(s+1) +1}{(s+1)^2} =3\Bigl(1 - \frac{2}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2}\Bigr).

Passo 3

Distribuindo o fator 3, obtemos a decomposição em frações simples:
F(s)=3 - \frac{6}{s+1} + \frac{3}{(s+1)^2}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\{1\}=\delta(t),
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}= \mathrm e^{-t} e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\}= t\,\mathrm e^{-t}.
Pela linearidade,
f(t) =3\,\delta(t) -6\,\mathrm e^{-t} +3\,t\,\mathrm e^{-t}.

Resposta

f(t)=3\,\delta(t)-6\,\mathrm e^{-t}+3\,t\,\mathrm e^{-t}.

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