Resolva: sen 2 x+cos x=0

Passo 1

Então, a gente tem a equação sin 2x + cos x = 0. Vamos resolver isso! Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de trigonometria, especificamente a fórmula do ângulo duplo para o seno. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fórmula do seno do ângulo duplo é sin 2x = 2 sin x cos x. Vamos substituir isso na nossa equação original:
2 sin x cos x + cos x = 0

Passo 3

Agora, vamos perceber que ambos os termos têm o cos x em comum. Então, podemos fatorar esse termo:
cos x (2 sin x + 1) = 0

Passo 4

A equação fatorada nos mostra que o produto de dois fatores é igual a zero. Isso significa que pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Então, temos duas possibilidades:
  1. cos x = 0
  2. 2 sin x + 1 = 0
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 5

Primeira possibilidade: cos x = 0
Sabemos que o cosseno de um ângulo é zero em determinados pontos no ciclo trigonométrico. Especificamente:
x = pi2 + kpi, onde k é um número inteiro éú

Passo 6

Segunda possibilidade: 2 sin x + 1 = 0
Vamos isolar o sin x:
2 sin x = -1 sin x = -12

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os ângulos cujo seno é -12. Sabemos que isso ocorre nos quadrantes III e IV. Os valores principais são:
x = 7pi6 + 2kpi e x = 11pi6 + 2kpi, onde k é um número inteiro éú

Resposta

As soluções da equação sin 2x + cos x = 0 são:
x = pi2 + kpi ou x = 7pi6 + 2kpi ou x = 11pi6 + 2kpi, onde k é um número inteiro éú

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