Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
d y-(y-1)^{2} d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
d y-(y-1)^{2} d x=0
e pede para resolvê‑la por separação de variáveis. As informações relevantes são:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação pode ser escrita em forma diferencial envolvendo dy e dx.
  • Queremos a solução geral (família de integrais) e não foi dado valor inicial.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar dy em termos de dx. Somando (y-1)^2 dx em ambos os lados obtemos
d y=(y-1)^{2} d x.
Isto é legítimo porque são operações lineares em dx,dy. Aqui entendemos dy/dx=(y-1)^2, isto é, y é função de x.

Passo 3

Agora vamos separar as variáveis: colocar todos os termos com y multiplicando dy e todos os termos com x multiplicando dx. Dividindo por (y-1)^2 (e lembrando que essa divisão exige y\neq1; o caso y\equiv1 será tratado à parte), obtemos
\frac{d y}{(y-1)^{2}}=d x.
A ideia da separação de variáveis é exatamente isto: ter um lado só com y e dy e o outro só com x e dx, para então integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos os dois lados. Para a integral à esquerda, fazemos a substituição simples u=y-1, então du=dy e a integral fica \int u^{-2}du. Calculamos:
\int \frac{d y}{(y-1)^{2}}=\int (y-1)^{-2}d y=\int u^{-2}du=-u^{-1}+C,
ou seja
-\frac{1}{y-1}=x+C,
onde C é a constante de integração (aqui colocada do lado direito).

Passo 5

Agora resolvemos a expressão obtida para y. A equação
-\frac{1}{y-1}=x+C
pode ser rearranjada multiplicando por -1:
\frac{1}{y-1}=-x-C.
Renomeando a constante -C por C_{1} (constante arbitrária qualquer), temos
\frac{1}{y-1}=C_{1}-x.
Invertendo e somando 1,
y-1=\frac{1}{C_{1}-x}, \qquad\text{logo}\qquad y=1+\frac{1}{C_{1}-x}.
Observe que essa expressão só faz sentido quando C_{1}-x\neq0 (há uma singularidade em x=C_{1}).

Passo 6

Não podemos esquecer o caso que excluímos ao dividir por (y-1)^{2}: se y\equiv1 então dy=0 e a equação original dy-(y-1)^2 dx=0 fica 0-0\cdot dx=0, que é verdadeira. Portanto y\equiv1 é uma solução constante (solução singular/isolada) que não aparece na forma obtida por divisão.

Passo 7

Verificação rápida (para conferir que a solução geral funciona): para y=1+\dfrac{1}{C_{1}-x} tem‑se y-1=\dfrac{1}{C_{1}-x} e
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{C_{1}-x}\right)=(C_{1}-x)^{-2},
enquanto
(y-1)^{2}=\left(\frac{1}{C_{1}-x}\right)^{2}=(C_{1}-x)^{-2},
logo \dfrac{dy}{dx}=(y-1)^{2}, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y=1+\dfrac{1}{C-x},\quad C\in\mathbb{R}
y\equiv 1

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