Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la por separação de variáveis. As informações relevantes são:
- A incógnita é a função
. - A equação pode ser escrita em forma diferencial envolvendo
e . - Queremos a solução geral (família de integrais) e não foi dado valor inicial.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar
em termos de
. Somando
em ambos os lados obtemos
Isto é legítimo porque são operações lineares em
. Aqui entendemos
, isto é,
é função de
.
Passo 3
Agora vamos separar as variáveis: colocar todos os termos com
multiplicando
e todos os termos com
multiplicando
. Dividindo por
(e lembrando que essa divisão exige
; o caso
será tratado à parte), obtemos
A ideia da separação de variáveis é exatamente isto: ter um lado só com
e
e o outro só com
e
, para então integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos os dois lados. Para a integral à esquerda, fazemos a substituição simples
, então
e a integral fica
. Calculamos:
ou seja
onde
é a constante de integração (aqui colocada do lado direito).
Passo 5
Agora resolvemos a expressão obtida para
. A equação
pode ser rearranjada multiplicando por
:
Renomeando a constante
por
(constante arbitrária qualquer), temos
Invertendo e somando
,
Observe que essa expressão só faz sentido quando
(há uma singularidade em
).
Passo 6
Não podemos esquecer o caso que excluímos ao dividir por
: se
então
e a equação original
fica
, que é verdadeira. Portanto
é uma solução constante (solução singular/isolada) que não aparece na forma obtida por divisão.
Passo 7
Verificação rápida (para conferir que a solução geral funciona): para
tem‑se
e
enquanto
logo
, confirmando que a solução está correta.