Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\operatorname{cossec} y d x+\operatorname{sec} ^{2} x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\operatorname{cossec} y\,dx+\operatorname{sec}^{2}x\,dy=0
e pede que a resolvamos por separação de variáveis.
Informações relevantes que o problema fornece:
  • A equação envolve as funções trigonométricas secante e cosecante (escritas aqui como \operatorname{sec} e \csc).
  • Quer-se a solução geral (integral) da equação diferencial, ou seja, uma relação entre x e y que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro lembretes básicos (coisa rápida para não complicar):
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \csc y=\dfrac{1}{\sin y}.
  • A técnica de separação de variáveis consiste em manipular a equação diferencial de modo a ter todos os termos que dependem de x multiplicando dx e todos os termos que dependem de y multiplicando dy, para poder integrar cada lado em sua variável própria.
Vamos aplicar isso: comece dividindo ambos os termos por \operatorname{sec}^{2}x\,\csc y (que é permitido desde que não estejamos em pontos onde isso seja zero; essas questões de domínio podem ser tratadas depois), obtendo
\frac{\csc y}{\operatorname{sec}^{2}x\,\csc y}\,dx+\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{sec}^{2}x\,\csc y}\,dy=0
ou seja
\frac{dx}{\operatorname{sec}^{2}x}+\frac{dy}{\csc y}=0.

Passo 3

Agora use as identidades de recíproco:
\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}x}=\cos^{2}x,\qquad \frac{1}{\csc y}=\sin y.
Substituindo na expressão anterior fica
\cos^{2}x\,dx+\sin y\,dy=0.
Pronto: as variáveis estão separadas (termos com x com dx, termos com y com dy).

Passo 4

Integramos ambos os lados. Escrevemos
\int \cos^{2}x\,dx + \int \sin y\,dy = 0.
Vou calcular as duas integrais com calma.
Para \displaystyle \int \cos^{2}x\,dx usamos a identidade de redução
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Então
\int \cos^{2}x\,dx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx.
Calculando cada termo:
\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}.
Portanto
\int \cos^{2}x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C_1.
Para \displaystyle \int \sin y\,dy temos diretamente
\int \sin y\,dy=-\cos y + C_2.

Passo 5

Voltando à equação integrada \displaystyle \int \cos^{2}x\,dx+\int \sin y\,dy=0, substituímos os resultados:
\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C_1\right)+\left(-\cos y + C_2\right)=0.
Juntando as constantes (C_1+C_2) numa única constante arbitrária C (é costume absorvê-las em uma só), obtemos
\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}-\cos y + C = 0.
Rearranjando para escrever a forma mais usual da solução implícita:
\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}-\cos y = C',
onde C'=-C é outra constante arbitrária real.

Passo 6

Podemos multiplicar por 4 se preferir uma forma sem frações:
2x+\sin 2x-4\cos y = C''.
Qualquer uma das duas formas acima representa a solução geral implícita da equação diferencial; são equivalentes (constantes diferentes).

Resposta

\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}-\cos y=C

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