Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos por separação de variáveis.
Informações relevantes que o problema fornece:
Informações relevantes que o problema fornece:
- A equação envolve as funções trigonométricas secante e cosecante (escritas aqui como
e ). - Quer-se a solução geral (integral) da equação diferencial, ou seja, uma relação entre
e que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro lembretes básicos (coisa rápida para não complicar):
-
e . - A técnica de separação de variáveis consiste em manipular a equação diferencial de modo a ter todos os termos que dependem de
multiplicando e todos os termos que dependem de multiplicando , para poder integrar cada lado em sua variável própria.
Vamos aplicar isso: comece dividindo ambos os termos por
(que é permitido desde que não estejamos em pontos onde isso seja zero; essas questões de domínio podem ser tratadas depois), obtendo
ou seja
Passo 3
Agora use as identidades de recíproco:
Substituindo na expressão anterior fica
Pronto: as variáveis estão separadas (termos com
com
, termos com
com
).
Passo 4
Integramos ambos os lados. Escrevemos
Vou calcular as duas integrais com calma.
Para
usamos a identidade de redução
Então
Calculando cada termo:
Portanto
Para
temos diretamente
Passo 5
Voltando à equação integrada
, substituímos os resultados:
Juntando as constantes
numa única constante arbitrária
(é costume absorvê-las em uma só), obtemos
Rearranjando para escrever a forma mais usual da solução implícita:
onde
é outra constante arbitrária real.
Passo 6
Podemos multiplicar por
se preferir uma forma sem frações:
Qualquer uma das duas formas acima representa a solução geral implícita da equação diferencial; são equivalentes (constantes diferentes).