Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- A função desconhecida é
dependente de . - A equação relaciona
com e através da exponencial . - Deve-se encontrar a família de soluções (constante arbitrária) e as restrições de domínio que surjam naturalmente.
Passo 2
Vou rearranjar a equação para “separar variáveis”: colocar todos os termos com
multiplicando
e todos os termos com
multiplicando
. Primeiro note que
logo a equação é
Agora divido ambos os lados por
(que é sempre positivo, então posso dividir) e multiplico por
, obtendo
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
, o direito só de
.
Passo 3
Integro ambos os lados: integrar uma função de
em
e uma de
em
. Usarei a fórmula básica
para qualquer constante
. Assim,
Calculo as integrais explicitamente:
Igualando e absorvendo as constantes em uma só constante
(isto é,
), obtenho
Passo 4
Vou isolar
. Multiplicando por
ambos os lados:
onde
é uma nova constante arbitrária. Para simplificar a escrita chamo essa constante de
novamente (é comum renomear constantes arbitrárias). Assim
Passo 5
Agora resolvo para
. Como
, a quantidade no lado direito deve ser positiva no domínio onde a solução vale. Tomando logaritmo natural e isolando
:
portanto
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Comentário sobre domínio e constantes (muito importante para provas): a expressão dentro do logaritmo tem de ser positiva. Logo a solução vale apenas para os
tais que
Isto restringe o domínio da solução a intervalos onde essa desigualdade se mantém; para cada valor de
a solução é definida numa (ou várias) faixas de
que satisfazem a condição acima. Não existe solução contínua válida para todos os
com um único
, porque
cresce sem limite para
.
Passo 7
Verificação rápida (boa prática em prova): derivando a solução encontrada e usando regras da derivada do logaritmo e da cadeia deve-se recuperar a equação original. Isto confirma que o processo de separação e integração foi feito corretamente.