Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y}
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • A função desconhecida é y dependente de x.
  • A equação relaciona \dfrac{d y}{d x} com x e y através da exponencial e^{3x+2y}.
  • Deve-se encontrar a família de soluções (constante arbitrária) e as restrições de domínio que surjam naturalmente.

Passo 2

Vou rearranjar a equação para “separar variáveis”: colocar todos os termos com y multiplicando d y e todos os termos com x multiplicando d x. Primeiro note que
e^{3 x+2 y}=e^{3x}\,e^{2y},
logo a equação é
\frac{d y}{d x}=e^{3x}e^{2y}.
Agora divido ambos os lados por e^{2y} (que é sempre positivo, então posso dividir) e multiplico por d x, obtendo
e^{-2y}\,d y = e^{3x}\,d x.
Isto é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de y, o direito só de x.

Passo 3

Integro ambos os lados: integrar uma função de y em y e uma de x em x. Usarei a fórmula básica
\int e^{a u}\,du = \frac{1}{a}e^{a u}+C,
para qualquer constante a\neq0. Assim,
\int e^{-2y}\,d y = \int e^{3x}\,d x.
Calculo as integrais explicitamente:
\int e^{-2y}\,d y = -\frac{1}{2}e^{-2y} + C_1, \qquad \int e^{3x}\,d x = \frac{1}{3}e^{3x} + C_2.
Igualando e absorvendo as constantes em uma só constante C (isto é, -\tfrac{1}{2}e^{-2y} = \tfrac{1}{3}e^{3x} + C), obtenho
-\frac{1}{2}e^{-2y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C.

Passo 4

Vou isolar e^{-2y}. Multiplicando por -2 ambos os lados:
e^{-2y} = -\frac{2}{3}e^{3x} + C',
onde C'=-2C é uma nova constante arbitrária. Para simplificar a escrita chamo essa constante de C novamente (é comum renomear constantes arbitrárias). Assim
e^{-2y} = C - \frac{2}{3}e^{3x}.

Passo 5

Agora resolvo para y. Como e^{-2y}>0, a quantidade no lado direito deve ser positiva no domínio onde a solução vale. Tomando logaritmo natural e isolando y:
-2y = \ln\!\left(C - \frac{2}{3}e^{3x}\right),
portanto
y(x) = -\frac{1}{2}\ln\!\left(C - \frac{2}{3}e^{3x}\right),
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Comentário sobre domínio e constantes (muito importante para provas): a expressão dentro do logaritmo tem de ser positiva. Logo a solução vale apenas para os x tais que
C - \frac{2}{3}e^{3x} > 0.
Isto restringe o domínio da solução a intervalos onde essa desigualdade se mantém; para cada valor de C a solução é definida numa (ou várias) faixas de x que satisfazem a condição acima. Não existe solução contínua válida para todos os x com um único C, porque e^{3x} cresce sem limite para x\to+\infty.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática em prova): derivando a solução encontrada e usando regras da derivada do logaritmo e da cadeia deve-se recuperar a equação original. Isto confirma que o processo de separação e integração foi feito corretamente.

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\!\left(C-\dfrac{2}{3}e^{3x}\right),\\ \text{com}\\ C\\ \text{constante e}\\ C-\dfrac{2}{3}e^{3x}>0

Exercícios relacionados