Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=(x+1)^{2}
e pede para resolvê‑la por separação de variáveis. Ou seja, encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa relação para todo x do domínio considerado.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=(x+1)^2.
O que é pedido:
  • Determinar a solução geral y(x), escrevendo a constante de integração.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “separação de variáveis” e por que podemos usá‑la aqui.
Idea simples: se a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\cdot h(y) podemos escrever \dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx e integrar ambos os lados. No nosso caso o lado direito depende só de x e o lado esquerdo é simplesmente dy (ou seja, depende só de y de forma trivial). Então podemos “separar” as variáveis multiplicando ambos os lados por dx:
dy=(x+1)^2\,dx.
Isto é válido porque estamos tratando diferenciáveis e fazendo operações algébricas elementares com a expressão da derivada.

Passo 3

Agora fazemos exatamente isso: transformar a equação em forma de diferencial separada e integrar ambos os lados.
A separação dá:
dy=(x+1)^2\,dx.
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
\int dy=\int (x+1)^2\,dx.

Passo 4

Calcular as integrais. O lado esquerdo é direto:
\int dy = y + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.
Para o lado direito podemos usar uma substituição simples ou a regra do binômio. Vou usar substituição porque é limpinha: seja u=x+1. Então du=dx. Assim
\int (x+1)^2\,dx=\int u^2\,du=\frac{u^{3}}{3}+C_2.
Voltando a x, obtemos
\int (x+1)^2\,dx=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C_2.

Passo 5

Igualando as duas integrais e juntando as constantes de integração (uma única constante é suficiente), obtemos
y + C_1 = \frac{(x+1)^{3}}{3} + C_2.
Subtraindo C_1 dos dois lados e definindo C=C_2-C_1 (que é uma constante arbitrária), chega‑se à solução geral
y=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 6

Explicando a regra usada na integração (para reforçar): a regra da potência diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+{\rm constante}.
No nosso caso n=2, então \int u^{2}\,du=\dfrac{u^{3}}{3}+{\rm constante}. Essa é a razão pela qual obtemos \dfrac{(x+1)^3}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (como checar na prova): diferencie a solução encontrada para ver se volta à equação original. Tomando
y(x)=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C,
temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\cdot 3(x+1)^{2}=(x+1)^{2},
que coincide com a equação dada. Portanto a solução está correta.

Resposta

y=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C

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