Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolvê‑la por separação de variáveis. Ou seja, encontrar a família de funções
que satisfazem essa relação para todo
do domínio considerado.
Informações dadas:
- A equação diferencial é
.
O que é pedido:
- Determinar a solução geral
, escrevendo a constante de integração.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “separação de variáveis” e por que podemos usá‑la aqui.
Idea simples: se a equação tem a forma
podemos escrever
e integrar ambos os lados. No nosso caso o lado direito depende só de
e o lado esquerdo é simplesmente
(ou seja, depende só de
de forma trivial). Então podemos “separar” as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Isto é válido porque estamos tratando diferenciáveis e fazendo operações algébricas elementares com a expressão da derivada.
Passo 3
Agora fazemos exatamente isso: transformar a equação em forma de diferencial separada e integrar ambos os lados.
A separação dá:
Integramos ambos os lados (integrais indefinidas):
Passo 4
Calcular as integrais. O lado esquerdo é direto:
onde
é uma constante de integração.
Para o lado direito podemos usar uma substituição simples ou a regra do binômio. Vou usar substituição porque é limpinha: seja
. Então
. Assim
Voltando a
, obtemos
Passo 5
Igualando as duas integrais e juntando as constantes de integração (uma única constante é suficiente), obtemos
Subtraindo
dos dois lados e definindo
(que é uma constante arbitrária), chega‑se à solução geral
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 6
Explicando a regra usada na integração (para reforçar): a regra da potência diz que, para
,
No nosso caso
, então
. Essa é a razão pela qual obtemos
.
Passo 7
Verificação rápida (como checar na prova): diferencie a solução encontrada para ver se volta à equação original. Tomando
temos
que coincide com a equação dada. Portanto a solução está correta.