Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
d^2 yd x^2=x^2.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem d^2ydx^2 = x^2. O conteúdo aqui é usar integração sucessiva (quadratura), já que não há dependência de y ou y'; basta integrar em relação a x duas vezes.

Passo 2

Integramos d^2ydx^2 = x^2 em relação a x para obter a primeira derivada. Desta forma,
dydx = integral x^2,dx = x^33 + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Agora integramos dydx = tfracx^33 + C1 em relação a x para achar y. Assim,
y = integral l(tfracx^33 + C1r),dx = x^412 + C1x + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x^412 + C1x + C2

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