Seja
uma função matricial derivável e
uma função escalar derivável cujo imagem seja um subconjunto do domínio de
. Definir a função composta
e demonstrar a regra da cadeia,
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função matricial
derivável e uma função escalar
derivável, e define a composição
Queremos demonstrar a regra da cadeia
Passo 2
Começamos pela definição de derivada de
:
Passo 3
Como
é derivável em
, existe a matriz derivada
e um resto
tal que
Tomando
e
, obtemos
Passo 4
Como
é derivável em
, existe
e um resto
com
Substituindo em
fica
Passo 5
Dividindo por
e tomando limite
, note que
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Como
é escalar, isso equivale a