Seja P uma função matricial derivável e g uma função escalar derivável cujo imagem seja um subconjunto do domínio de P. Definir a função composta F(t)=P(g(t)) e demonstrar a regra da cadeia, F^prime(t)=g^prime(t) P^prime(g(t)).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função matricial P:RtoR^mtimes n derivável e uma função escalar g:RtoR derivável, e define a composição
F(t)=Pl(g(t)r)
Queremos demonstrar a regra da cadeia
F'(t)=g'(t),P'l(g(t)r)

Passo 2

Começamos pela definição de derivada de F:
F'(t) =limhto0F(t+h)-F(t)h =limhto0Pl(g(t+h)r)-Pl(g(t)r)h

Passo 3

Como P é derivável em s=g(t), existe a matriz derivada P'(s) e um resto rP(De<a s) tal que
P(s+De<a s)-P(s) = P'(s),De<a s + rP(De<a s), limDe<a sto0rP(De<a s)|De<a s|=0
Tomando s=g(t) e De<a s=g(t+h)-g(t), obtemos
Pl(g(t+h)r)-Pl(g(t)r) = P'l(g(t)r)l(g(t+h)-g(t)r) + rPl(g(t+h)-g(t)r)

Passo 4

Como g é derivável em t, existe g'(t) e um resto rg(h) com
g(t+h)-g(t)=g'(t),h + rg(h), limhto0rg(h)h=0
Substituindo em P(g(t+h))-P(g(t)) fica
Pl(g(t+h)r)-Pl(g(t)r) = P'l(g(t)r)l(g'(t),h + rg(h)r) + rPl(g(t+h)-g(t)r)

Passo 5

Dividindo por h e tomando limite hto0, note que
rg(h)hto0, rPl(g(t+h)-g(t)r)hto0
Logo
F'(t) = limhto0P'(g(t)),g'(t),h + termos o(h)h = P'l(g(t)r),g'(t)
Como g'(t) é escalar, isso equivale a
F'(t)=g'(t),P'l(g(t)r)

Resposta

F'(t)=g'(t),P'l(g(t)r).

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