Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
y^prime=e^3 x+2 y;

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
y' = e^3x + 2y
O conteúdo é ODE de primeira ordem separável. Vamos isolar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Escrevemos
dydx = e^3x+2y = e^3x,e^2y
Agora separamos variáveis, passando e^2y para o lado de dx e dx para o lado de dy:
e^-2y,dy = e^3x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^-2y,dy = integral e^3x,dx

Passo 4

Calculamos as integrais:
integral e^-2y,dy = -tfrac12,e^-2y, integral e^3x,dx = tfrac13,e^3x + C
Logo obtemos a relação
-,tfrac12,e^-2y = tfrac13,e^3x + C

Passo 5

Multiplicando por -2 e renomeando constante (digamos K=-2C) ficamos com a forma implícita mais simples:
e^-2y + tfrac23,e^3x = K,
onde K é constante arbitrária.

Passo 6

Isolando y, temos
e^-2y = K - tfrac23,e^3x,
-2y = ln!l(K - tfrac23,e^3xr),
y(x) = -tfrac12 ,ln!l(K - tfrac23,e^3xr)

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
e^-2y + tfrac23,e^3x = K,
ou explicitamente por
y(x) = -12 ln!l(K - tfrac23,e^3xr),
onde K é constante de integração.

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