Resolva por separaçio de variliveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O que se pede: resolver essa equação por separação de variáveis (encontrar a solução geral
, com constante arbitrária).
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão à direita para ver se ela se fatoriza de forma útil. Observe:
Logo a equação fica
A ideia da separação de variáveis é reorganizar a equação para ter todos os termos que contêm
multiplicando
de um lado e todos os que contêm
multiplicando
do outro lado. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Escrevendo a integral:
Explicando as integrais: no lado esquerdo faz-se a substituição
que dá
, então a integral
é
. No lado direito,
. Portanto, após integrar,
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora retiramos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Denotando
, temos
. O sinal absoluto permite as duas possibilidades
; absorvendo o sinal em uma constante arbitrária
(ou seja
) obtemos a forma geral
onde
é uma constante real arbitrária. Isolando
,
Observação importante: a solução constante
também satisfaz a equação original (substituindo
faz o lado direito zerar), e ela corresponde ao caso
na forma acima. Portanto a escrita com
cobrindo todos os reais inclui essa solução singular.
Passo 5
Verificação rápida: derivando a solução encontrada,
Como
, temos
, que é exatamente a equação original. Então a solução está correta.