Resolva por separaçio de variliveis.
\frac{d y}{d x}=1+x+y+x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=1+x+y+xy.
O que se pede: resolver essa equação por separação de variáveis (encontrar a solução geral y(x), com constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão à direita para ver se ela se fatoriza de forma útil. Observe:
1+x+y+xy = (1+x)+(y+xy) = (1+x)+y(1+x) = (1+x)(1+y).
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx}=(1+x)(1+y).
A ideia da separação de variáveis é reorganizar a equação para ter todos os termos que contêm y multiplicando dy de um lado e todos os que contêm x multiplicando dx do outro lado. Dividindo ambos os lados por 1+y e multiplicando por dx obtemos
\frac{dy}{1+y}=(1+x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Escrevendo a integral:
\int \frac{dy}{1+y}=\int (1+x)\,dx.
Explicando as integrais: no lado esquerdo faz-se a substituição u=1+y que dá du=dy, então a integral \int \frac{dy}{1+y} é \ln|1+y|. No lado direito, \int (1+x)\,dx=\int 1\,dx+\int x\,dx = x+\dfrac{x^2}{2}. Portanto, após integrar,
\ln|1+y| = x+\frac{x^2}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora retiramos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
|1+y| = e^{x+\frac{x^2}{2}+C}=e^{C}e^{x+\frac{x^2}{2}}.
Denotando K=e^{C}>0, temos |1+y|=K e^{x+\frac{x^2}{2}}. O sinal absoluto permite as duas possibilidades 1+y=\pm K e^{x+\frac{x^2}{2}}; absorvendo o sinal em uma constante arbitrária A\in\mathbb{R} (ou seja A=\pm K) obtemos a forma geral
1+y = A\,e^{x+\frac{x^2}{2}},
onde A é uma constante real arbitrária. Isolando y,
y(x)=A e^{x+\frac{x^2}{2}}-1.
Observação importante: a solução constante y\equiv -1 também satisfaz a equação original (substituindo y=-1 faz o lado direito zerar), e ela corresponde ao caso A=0 na forma acima. Portanto a escrita com A cobrindo todos os reais inclui essa solução singular.

Passo 5

Verificação rápida: derivando a solução encontrada,
y(x)=A e^{x+\frac{x^2}{2}}-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=A e^{x+\frac{x^2}{2}}\left(1+x\right).
Como 1+y=1+Ae^{x+\frac{x^2}{2}}-1=A e^{x+\frac{x^2}{2}}, temos \dfrac{dy}{dx}=(1+x)(1+y), que é exatamente a equação original. Então a solução está correta.

Resposta

y(x)=A\,e^{x+\frac{x^2}{2}}-1, com A\in\mathbb{R}.

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