Determine a ordem da equaçio diferencial dada e diga se ela é linear om nio linear.
\frac{d y}{d x}=\sqrt{1+\left(1+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a ordem da equação diferencial e (2) dizer se ela é linear ou não linear. A equação dada é
\frac{dy}{dx}=\sqrt{1+\left(1+\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}}.
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
  • Aparecem as derivadas \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • A derivada de ordem mais alta que aparece é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • Há operações não-lineares sobre derivadas (elevações ao quadrado e raiz quadrada).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Ordem é o maior índice da derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for y''=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, a equação é de ordem 2.
Na equação dada a maior derivada presente é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Logo a ordem é 2:
\text{Ordem} = 2.

Passo 3

O que significa ser uma equação diferencial linear? Uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e o termo independente g(x) dependem apenas da variável independente x (não dependem de y nem de derivadas de y), e as ocorrências de y e de suas derivadas são todas de primeiro grau (não elevadas a potências diferentes de 1, não multiplicadas entre si, nem dentro de funções não-lineares como \sin, \sqrt{\cdot}, etc.).
Exemplo rápido:
  • Linear de segunda ordem: \;y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\; (linear).
  • Não linear: \;y''+(y')^{2}=0\; (não linear por causa de (y')^{2}).

Passo 4

Vamos analisar a equação escrevendo uma notação curta. Defina
p=\frac{dy}{dx},\qquad q=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
A equação fica
p=\sqrt{1+(1+q)^{2}}.
Aqui já se vê que q (a segunda derivada) aparece dentro de uma potência e dentro de uma raiz — ou seja, aparece de modo não linear. Para tornar isso ainda mais claro, elevamos ambos os lados ao quadrado (operações válidas localmente, assumindo o sinal adequado da raiz):
p^{2}=1+(1+q)^{2}=1+(1+2q+q^{2})=q^{2}+2q+2.
Rearranjando:
q^{2}+2q+2-p^{2}=0.
Nessa forma aparece um termo q^{2}, isto é, \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}. A presença de \left(y''\right)^{2} (ou de qualquer potência ou produto de derivadas) é uma evidência direta de não linearidade, porque numa equação linear as derivadas só aparecem multiplicadas por funções de x e sempre de primeira potência.
Além disso, não é possível reescrever a equação no formato linear a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x) com coeficientes dependentes apenas de x, pois os coeficientes necessários dependeriam de y'' ou de y' (isto é, da própria solução e suas derivadas), o que quebra a definição de linearidade.

Passo 5

Conclusão: a equação possui a maior derivada de ordem 2, portanto é de segunda ordem, e devido à presença de potências/raízes envolvendo derivadas (por exemplo \left(y''\right)^{2} após manipulação) é não linear. Fica tranquilo: reconhecer ordem e verificar se aparecem derivadas elevadas a potências ou combinadas entre si é o caminho usual numa prova — e você já fez isso aqui!

Resposta

\text{Ordem }2
\text{Não linear}ã

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