Determine a ordem da equaçio diferencial dada e diga se ela é linear om nio linear.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a ordem da equação diferencial e (2) dizer se ela é linear ou não linear. A equação dada é
Informações explícitas fornecidas pelo enunciado:
- Aparecem as derivadas
e . - A derivada de ordem mais alta que aparece é
. - Há operações não-lineares sobre derivadas (elevações ao quadrado e raiz quadrada).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial? Ordem é o maior índice da derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada presente for
, a equação é de ordem 2.
Na equação dada a maior derivada presente é
. Logo a ordem é 2:
Passo 3
O que significa ser uma equação diferencial linear? Uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
dependem apenas da variável independente
(não dependem de
nem de derivadas de
), e as ocorrências de
e de suas derivadas são todas de primeiro grau (não elevadas a potências diferentes de 1, não multiplicadas entre si, nem dentro de funções não-lineares como
,
, etc.).
Exemplo rápido:
- Linear de segunda ordem:
(linear). - Não linear:
(não linear por causa de ).
Passo 4
Vamos analisar a equação escrevendo uma notação curta. Defina
A equação fica
Aqui já se vê que
(a segunda derivada) aparece dentro de uma potência e dentro de uma raiz — ou seja, aparece de modo não linear. Para tornar isso ainda mais claro, elevamos ambos os lados ao quadrado (operações válidas localmente, assumindo o sinal adequado da raiz):
Rearranjando:
Nessa forma aparece um termo
, isto é,
. A presença de
(ou de qualquer potência ou produto de derivadas) é uma evidência direta de não linearidade, porque numa equação linear as derivadas só aparecem multiplicadas por funções de
e sempre de primeira potência.
Além disso, não é possível reescrever a equação no formato linear
com coeficientes dependentes apenas de
, pois os coeficientes necessários dependeriam de
ou de
(isto é, da própria solução e suas derivadas), o que quebra a definição de linearidade.
Passo 5
Conclusão: a equação possui a maior derivada de ordem 2, portanto é de segunda ordem, e devido à presença de potências/raízes envolvendo derivadas (por exemplo
após manipulação) é não linear. Fica tranquilo: reconhecer ordem e verificar se aparecem derivadas elevadas a potências ou combinadas entre si é o caminho usual numa prova — e você já fez isso aqui!