Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto especificado.
f(x)=2 x^{2}-3 x+4 ;(2,6)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^{2}-3x+4 e o ponto indicado (2,6). O que se pede:
  • Determinar a declividade (a inclinação) da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,6).
  • Determinar a equação da reta tangente nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x)=2x^{2}-3x+4.
  • O ponto do gráfico onde se quer a tangente é (2,6).

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar e sem pular etapas). A declividade da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto é o valor da derivada da função nesse ponto. A derivada em x é, geometricamente, a inclinação da reta que toca o gráfico naquele ponto; analiticamente pode ser definida por:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Isso significa: pegue o quociente das diferenças entre valores da função em pontos próximos e faça a distância entre esses pontos tender a zero — o limite é a inclinação instantânea.

Passo 3

Regras práticas que vamos usar (fáceis de aplicar na prova):
  • Regra do poder (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra da constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big)=a\cdot g'(x),
onde a é constante.
  • Derivada de soma/diferença:
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Derivada de constante:
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Cada símbolo: x é a variável, n é o expoente, a e C são constantes, g,h são funções quaisquer.

Passo 4

Aplicando as regras à função termo a termo. Escrevo f(x) como soma de termos:
f(x)=2x^{2}-3x+4.
Derivo cada termo:
\frac{d}{dx}(2x^{2})=2\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=2\cdot(2x)=4x,
\frac{d}{dx}(-3x)=-3\cdot\frac{d}{dx}(x)=-3\cdot 1=-3,
\frac{d}{dx}(4)=0.
Somando as derivadas:
f'(x)=4x-3.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x=2 para obter a declividade:
f'(2)=4\cdot 2-3=8-3=5.
Portanto a declividade (inclinação) da reta tangente em (2,6) é 5.

Passo 6

Cheque rápido (sempre bom verificar que o ponto realmente pertence ao gráfico): calcular f(2):
f(2)=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2+4=2\cdot 4-6+4=8-6+4=6,
que coincide com a ordenada dada 6. Assim (2,6) está mesmo na curva — ótimo.

Passo 7

Equação da reta tangente: usar a forma ponto-inclinação da reta. Se a inclinação é m e a reta passa por (x_{0},y_{0}), então
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui m=5, x_{0}=2, y_{0}=6. Substituindo:
y-6=5(x-2).
Expandindo para a forma y=mx+b:
y-6=5x-10 \quad\Rightarrow\quad y=5x-4.

Resposta

Declividade: m=5
Equação da reta tangente: y=5x-4

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