Nos Exercícios 41-44, determine a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto indicado
. O que se pede:
- Determinar a declividade (a inclinação) da reta tangente ao gráfico de
no ponto . - Determinar a equação da reta tangente nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - O ponto do gráfico onde se quer a tangente é
.
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar e sem pular etapas). A declividade da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto é o valor da derivada da função nesse ponto. A derivada em
é, geometricamente, a inclinação da reta que toca o gráfico naquele ponto; analiticamente pode ser definida por:
Isso significa: pegue o quociente das diferenças entre valores da função em pontos próximos e faça a distância entre esses pontos tender a zero — o limite é a inclinação instantânea.
Passo 3
Regras práticas que vamos usar (fáceis de aplicar na prova):
- Regra do poder (power rule): para
real,
- Regra da constante multiplicativa:
onde
é constante.
- Derivada de soma/diferença:
- Derivada de constante:
Cada símbolo:
é a variável,
é o expoente,
e
são constantes,
são funções quaisquer.
Passo 4
Aplicando as regras à função termo a termo. Escrevo
como soma de termos:
Derivo cada termo:
Somando as derivadas:
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
para obter a declividade:
Portanto a declividade (inclinação) da reta tangente em
é
.
Passo 6
Cheque rápido (sempre bom verificar que o ponto realmente pertence ao gráfico): calcular
:
que coincide com a ordenada dada
. Assim
está mesmo na curva — ótimo.
Passo 7
Equação da reta tangente: usar a forma ponto-inclinação da reta. Se a inclinação é
e a reta passa por
, então
Aqui
,
,
. Substituindo:
Expandindo para a forma
:
Resposta
Declividade:
Equação da reta tangente:
Equação da reta tangente: