(Valor 20) O deslocamento de uma corda elástica semi-infinita é determinado por:
Sujeito às condições:
Determine o deslocamento
usando transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial e contorno:
A pergunta é: determinar o deslocamento
para
. Todas as informações acima são relevantes e serão usadas na resolução.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em
à equação. Primeiro, defino a transformada de Laplace (no tempo) da função
:
válida para
suficientemente grande. Propriedades que usarei:
- Linearidade:
. - Derivada no tempo:
e .
Aplicando
à equação
(tratando
como parâmetro) obtemos:
ou seja
Usando as condições iniciais
e
, a equação transformada fica
Passo 3
Agora resolvo a equação ordinária em
:
Primeiro resolvo a homogênea
. A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
dependem de
.
Em seguida procuro uma solução particular. O termo forçante é proporcional a
, então tento
Calculando
. Substituindo em
obtenho
Cancelando
(que nunca é zero) dá
Portanto a solução geral é
Passo 4
Imponho as condições de contorno em
. A condição
implica, ao transformar,
para
positivo. Como
cresce exponencialmente para
quando
, devemos ter
. Assim
A condição de contorno
implica
. Calculando
:
Logo
Passo 5
Agora preciso inverter a transformada de Laplace em
para obter
. Escrevo
Trato
como parâmetro. Note que
não depende de
, enquanto
é do tipo
com
e gera um deslocamento temporal (teorema do atraso/teorema de translação em
). Defino a função auxiliar
Se
, então
onde
é a função de Heaviside e
representa o deslocamento de
por
(zero para
).
Calculo
. Faço frações parciais em
:
Inverso de Laplace conhecido:
Portanto
Passo 6
Usando os resultados do passo anterior,
Podemos escrever de forma equivalente e mais explícita em duas regiões de
:
- Para
: , logo . - Para
: , logo .
Verificações rápidas (consistência): em
e
tem-se
e
, OK. Em
tem
, OK. A condição no infinito também é satisfeita.